Relativitetsteori2018

---

Versionen från 26 januari 2018 kl. 13.16

Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten \displaystyle u' i Bobs vilosystem \displaystyle S', se figur [fig:alicebobball].

Detta innebär att bollens rörelse kan beskrivas genom att ange bollens läge \displaystyle x' relativt Bob som funktion av tiden
\displaystyle x'(t) = x_0 + u't.
Med hjälp av galileitransformationen kan vi beräkna hur bollen rör sig i Alices inertialsystem \displaystyle S, det vill säga hur koordinaten \displaystyle x beror på \displaystyle t. Detta ger
\displaystyle x(t) = x'(t) + vt = x_0 + u't + vt = x_0 + (u'+v)t.
Detta är precis den ekvation som beskriver ett objekt som rör sig likformigt med hastigheten \displaystyle u = u'+v i Alices inertialsystem. Vi får därför sambandet
\displaystyle u = u'+v
som relaterar hastigheten \displaystyle u av ett objekt i Alices inertialsystem med objektets hastighet \displaystyle u' i Bobs inertialsystem. Resultatet stämmer även mycket väl överens med vår intuition om hur hastigheter fungerar. Sambandet mellan hastigheterna i de olika inertialsystemen kallas för hastighetsaddition[def:klassiskhastighetsaddition] av den enkla anledning att hastigheten i det ena systemet ges av hastigheten i det andra adderat till den relativa hastigheten mellan systemen.

Bilar som kör om varandra
Vid en omkörning körs den ena bilen (\displaystyle A) med en konstant hastighet \displaystyle v = 50 km/h om av en annan bil (\displaystyle B) med en konstant hastighet \displaystyle u = 70 km/h. Här har hastigheterna angivits relativt vägbanans inertialsystem. Om vi i stället beskriver rörelsen från inertialsystemet där \displaystyle A är i vila, som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt vägbanan, kommer bil \displaystyle B i detta att röra sig med hastigheten \displaystyle u' som ges av
\displaystyle 70~\mbox{km/h} = u' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad u' = 70 - 50 ~\mbox{km/h} = 20~\mbox{km/h}.
Vi kan även använda oss av hastighetsaddition för att kontrollera att \displaystyle As hastighet \displaystyle v_A' i sitt eget vilosystem är noll enligt
\displaystyle 50~\mbox{km/h} = v_A' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad v_A' = 0~\mbox{km/h}
samt att vägbanans hastighet \displaystyle w' relativt \displaystyle A ges av
\displaystyle 0~\mbox{km/h} = w' + 50~\mbox{km/h}\quad \Longrightarrow \quad w' = -50~\mbox{km/h}.
Notera här att minustecknet betyder att vägbanan rör sig i motsatt riktning i \displaystyle As inertialsystem jämfört hur \displaystyle A rör sig i vägbanans inertialsystem.