Relativitetsteori2018

Läromål:

• Känna till och tillämpa lorentztransformationen, som beskriver hur rums- och tidskoordinaterna i olika inertialsystem relateras till varandra.
• Använda rumtidsdiagram inom speciell relativitetsteori och känna till hur dessa skiljer sig från de klassiska rumtidsdiagrammen.
• Känna till och använda den relativistiska hastighetsadditionsformeln för att relatera ett objekts hastighet i olika inertialsystem med varandra.

Liksom galileitransformationen relaterar koordinater i olika inertialsystem inom klassisk mekanik kan vi i speciell relativitetsteori hitta en transformation som fyller samma uppgift. Denna nya transformation kallas för lorentztransformationen[def:lorentztransformation] och kommer att relatera tids- och rumskoordinaterna för en händelse i olika inertialsystem. Som vi kommer att visa på ett par olika sätt i detta kapitel ges dessa av
\displaystyle \label{eq:lorentztransformation} \boxed{ct' = \gamma \left( ct - \frac{v}{c}x\right), \quad x' = \gamma \left( x - \frac{v}{c} ct \right).}
Vi har här låtit bli att förkorta bort ljushastigheten i den sista termen eftersom detta gör det lättare att se att lorentztransformationen är symmetrisk då vi byter ut \displaystyle ct \leftrightarrow x samt \displaystyle ct' \leftrightarrow x'. Det bör nämnas att två händelser definitionsmässigt är samtidiga i ett inertialsystem om de har samma tidskoordinat, men från lorentztransformationen ser vi genast att två händelser med samma tidskoordinat \displaystyle t i \displaystyle S har samma tidskoordinat \displaystyle t' i \displaystyle S' enbart om de även har samma rumskoordinat \displaystyle x, det vill säga om de är samma händelse. Vi kommer också att diskutera hur konstruktionen av rumtidsdiagram skiljer sig från motsvarande konstruktion inom klassisk mekanik och hur lorentztransformationen påverkar hur hastigheter adderas till varandra. Låt oss börja med ett par exempel på hur lorentztransformationen kan användas för att relatera koordinaterna för en händelse i olika inertialsystem.

En supernova
I jordens inertialsystem \displaystyle S exploderar en stjärna i en supernova 10000 ljusår bort. Om vi skulle ta emot ljuset från explosionen idag och använda tidskoordinaten \displaystyle t = 0 för dagens datum kan vi dra slutsatsen att supernovan är en händelse som inträffade vid rumtidskoordinaterna \displaystyle x = 10000 ljusår och \displaystyle t = - 10000 år. Bob flyger förbi jorden med konstant relativ hastighet \displaystyle v = 0.9c i supernovans riktning. För att veta var och när supernovan inträffat i Bobs inertialsystem \displaystyle S' kan vi använda oss av lorentztransformationen

\displaystyle \begin{aligned} t' &= \frac{1}{\sqrt{1-0.9^2}} \left(-10000 - 0.9 \cdot 10000\right) \approx - 44000~\mbox{år}, \\ x' &= \frac{1}{\sqrt{1-0.9^2}} \left(10000 - 0.9 \cdot (-10000)\right) \approx 44000~\mbox{ljusår}.\end{aligned}

I Bobs inertialsystem inträffade således supernovan för ungefär 44000 år sedan och på ett avstånd av ungefär 44000 ljusår. Notera att även i Bobs system har ljuset färdats med en hastighet på 1 ljusår/år som sig bör.

Vid väldigt små hastigheter \displaystyle v \ll c noterar vi även att lorentzfaktorn
\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx 1.
Om dessutom avstånden är små \displaystyle x \ll ct gäller därför att

\displaystyle \begin{aligned} t' &= \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \approx t - \frac{v}{c}\frac{x}{c} \approx t, \\ x' &= \gamma(x-vt) \approx x-vt.\end{aligned}

För dessa specialfall approximeras lorentztransformationen därför mycket väl av galileitransformationen.

Alice, Bob, trafikljuset och lorentztransformationen
Alice ser ett stoppljus slå om från grönt till rött 100 m bort vilket innebär att det slog om för ungefär \displaystyle 3\cdot 10^{-7} s sedan. Alice tilldelar därför händelsen koordinaterna \displaystyle t = - 3\cdot 10^{-7} s och \displaystyle x = 100 m. Bob kommer körande mot stoppljuset med hastigheten \displaystyle v = 70 km/h \displaystyle \approx 20 m/s relativt Alice. Lorentztransformationen till Bobs inertialsystem ges nu av

\displaystyle \begin{aligned} t' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{20^2}{299792458^2}}} \left(- 3\cdot 10^{-7} - \frac{20}{299792458^2} 100\right) \approx -3 \cdot 10^{-7}~\mbox{s}, \\ x' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{20^2}{299792458^2}}} (100 - 20 \cdot (-3\cdot 10^{-7})) \approx 100~\mbox{m}.\end{aligned}

De relativistiska korrektionerna till galileitransformationen är här så små att avståndet till stoppljuset skulle behöva mätas med en noggrannhet på 1 m för att de skulle vara möjliga att uppfatta. Hastigheten och tidsskillnaderna skulle också behöva mätas med motsvarande noggrannhet.