Relativitetsteori2018

Vi har hittills enbart studerat hur två objekt rör sig i förhållande till varandras inertialsystem. Det är dock hög tid att vi beskriver även hur allmänna fysikaliska förlopp kan beskrivas i olika inertialsystem och hur dessa förhåller sig till varandra. Inom fysiken talar vi om en händelse[def:handelse] som något vi kan tillskriva en tidpunkt och en position i rummet. För att specificera en händelse måste vi ange var och när den har inträffat och vi gör detta genom att tillskriva den en tidskoordinat \displaystyle t och en rumskoordinat \displaystyle x (vi kan även lägga till flera rumskoordinater som \displaystyle y och \displaystyle z om vi behöver beskriva en händelse i tre rumsdimensioner). Precis som vi redan har diskuterat måste vi här bestämma i vilket inertialsystem vi anger rumskoordinaten \displaystyle x. För att förstå hur beskrivningen av samma förlopp ter sig i olika inertialsystem ställer vi oss frågan hur rumskoordinaterna \displaystyle x och \displaystyle x' förhåller sig till varandra.

Om vi återgår till exemplet med Bob som körde förbi Alice kan en händelse vara att Bob nyser. Denna händelse kan beskrivas med när (tidpunkten för nysningen) och var (platsen där Bob nyste) den skedde. Om vi använder oss av Bobs inertialsystem är det därför naturligt att tilldela händelsen koordinaterna \displaystyle t = t_0 för att beskriva tiden för nysningen och \displaystyle x' = 0 eftersom nysningen skedde i inertialsystemets utgångspunkt. I Alices inertialsystem sker nysningen också vid tiden \displaystyle t = t_0, men var händelsen inträffar kommer att bero på tiden \displaystyle t_0 eftersom Bob befinner sig i rörelse i detta system. Notera att vi antagit att det finns en absolut tid[def:absoluttid] \displaystyle t som är densamma i alla inertialsystem. Detta är ett antagande inom klassisk mekanik och vi kommer i nästa kapitel se hur speciell relativitetsteori kräver att vi reviderar detta antagande.

Vi kan härleda ett allmänt uttryck för hur koordinaterna för en händelse i olika inertialsystem förhåller sig till varandra genom att studera hur avstånden mellan olika objekt beskrivs i de olika systemen. För att göra detta måste vi först välja vilken tidpunkt som motsvarar att tidskoordinaten ges av \displaystyle t = 0. Låt oss ta exemplet med Alice och Bob och välja en tidskoordinat \displaystyle t som är lika med noll i det ögonblick då Bob passerar Alice. Detta innebär att vi kommer att ange tider i termer av hur lång tid efter att de passerat varandra olika händelser inträffar.

I figur [fig:alicebobEvent] visas en händelse \displaystyle E i punkten \displaystyle x_E vid tiden \displaystyle t och Bobs position \displaystyle vt vid samma tidpunkt.

Ur denna figur erhålls sambandet
\displaystyle x'_E + vt = x_E \quad \Longleftrightarrow \quad x'_E = x_E - vt.
Allmänt sett skulle vi även kunnat tänka oss att använda en förskjuten tidskoordinat \displaystyle t' = t + \tau, där \displaystyle \tau är en konstant i Bobs inertialsystem, men konventionen här är att använda samma tidskoordinat i båda systemen och därför sätta \displaystyle t' = t. Detta leder till att tids- och rumskoordinaterna för en given händelse i de olika systemen förhåller sig enligt

align t’ &= t,
x’ &= x - vt.

Om vi vet koordinaterna för en händelse i ett av systemen samt hur fort systemen rör sig i förhållande till varandra kan vi således beräkna koordinaterna för händelsen i det andra systemet. Denna relation mellan koordinaterna i olika inertialsystem kallas för galileitransformationen[def:galileitransformation].

[ex:trafikljusgalilei] Alice, Bob och trafikljuset
Bob passerar Alice med sin bil med den konstanta hastigheten 10 m/s och båda ställer in sina klockor så att de vid denna tidpunkt visar \displaystyle t = t' = 0. Vid koordinaten \displaystyle x = 100 m i Alices vilosystem finns ett trafikljus som slår om till rött fem sekunder senare. Denna händelse har därför koordinaterna
\displaystyle t = 5~\mbox{s} \quad \mbox{och} \quad x = 100~\mbox{m}
i Alices vilosystem \displaystyle S. För att ta reda på vilka koordinater trafikljusets omslag har i Bobs vilosystem \displaystyle S' kan vi använda oss av galileitransformationen och erhåller då
\displaystyle t' = t = 5~\mbox{s} \quad \mbox{och} \quad x' = x - vt = (100~\mbox{m} - (10~\mbox{m}/\mbox{s})\cdot(5~\mbox{s})) = 50~\mbox{m}.
Även för Bob inträffar omslaget därför fem sekunder efter att han kört förbi Alice, men det inträffar \displaystyle x'=50 m bort.