Relativitetsteori2018

Vi inleder med att analysera dopplereffekten inom klassisk mekanik för fallet där observatören befinner sig i vila och källan rör sig relativt vågmediet. I allmänhet finns klassiskt även en dopplereffekt där källan är stationär relativt mediet medan observatören rör sig och den mest allmänna effekten fås då både observatör och källa rör sig. Fallet vi kommer att diskutera här är dock det som enklast generaliseras till det relativistiska fallet.

Vi studerar en signalgenerator som genererar signaler med en period \displaystyle t_0. Signalernas frekvens enligt generatorn är då \displaystyle f_0 = 1/t_0. Vi antar att generatorn rör sig med en hastighet \displaystyle v och vi studerar förloppet i vilossystemet för mediet i vilket signalerna rör sig där signalernas hastighet är \displaystyle u i alla riktningar. För de signaler som skickas i samma riktning som generatorn rör sig hinner en signalpuls röra sig sträckan \displaystyle ut_0 innan nästa puls sänds ut från generatorn, som då befinner sig en sträcka \displaystyle vt_0 längre fram. Detta innebär att sträckan \displaystyle \lambda mellan pulserna ges av
\displaystyle \lambda = ut_0 - vt_0 = (u-v)t_0.
För en observatör som är i vila relativt mediet kommer tiden mellan påföljande pulser därför att ges av
\displaystyle t = \frac{\lambda}{u} = \left(1-\frac{v}{u}\right) t_0
då den andra pulsen måste röra sig sträckan \displaystyle \lambda med en hastighet \displaystyle u efter att den första pulsen kommit fram. Frekvensen \displaystyle f med vilken observatören tar emot pulserna ges därför av
\displaystyle \label{ekv_klassiskdoppler} f = \frac{1}{t} = \frac{1/t_0}{1-v/u} = \frac{f_0}{1-v/u}.
Detta uttryck beskriver frekvensändringen orsakad av den klassiska dopplereffekten då källan rör sig mot observatören. Om källan i stället rör sig bort ifrån observatören kommer avståndet mellan påföljande pulser i stället att ges av
\displaystyle \lambda = (u+v)t_0
och frekvensändringen av
\displaystyle f = \frac{f_0}{1+v/u}.

Klassisk dopplereffekt
Alice kör formel 1-bil med hastigheten \displaystyle v=80 m/s = 288 km/h. Ljudhastigheten är ca \displaystyle u=340 m/s. Bob lyssnar stillastående från sidan av banan och observerar förhållandet \displaystyle \frac{f(v)}{f(-v)} = \frac{{1+v/u}}{{1-v/u}}=1.6 mellan frekvenserna hos motorljudet före och efter Alice kör förbi.