Relativitetsteori2018

Här sammanfattas några matematiska resultat som används i kursen. För fler exempel, härledningar och förklaring av vad det betyder att ett uttryck går mot noll hänvisas till gymnasiets eller universitetets matematikkurser.

Pythagoras sats och vektorer

Pythagoras sats säger att sidlängderna \displaystyle a,b,c i en rätvinklig triangel med \displaystyle c som den längsta sidan uppfyller
\displaystyle c^2=a^2+b^2.
Detta kan användas för att bestämma längden hos en vektor, till exempel positionsvektorn \displaystyle \vec{r}=(x,y,z). Längden i kvadrat blir summan av kvadraterna av koordinaterna
\displaystyle r^2=x^2+y^2+z^2.
Hastigheten i tre dimensioner är derivatan av positionsvektorn med avseende på tiden, \displaystyle d\vec{v}=d\vec{r}/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt). Kvadraten av hastigheten blir
\displaystyle v^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2.
Konjugatregeln

Uttrycket \displaystyle a^2 - b^2 kan faktoriseras enligt
\displaystyle a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
för godtyckliga \displaystyle a och \displaystyle b. Detta följer ur
\displaystyle (a+b)(a-b) = (a+b)a - (a+b)b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2.
Approximationer

Vi behöver flera approximationer. I matematiken härleds dessa ofta med hjälp av Taylors formel men vi ska ge en enklare algebraisk härledning. För små värden på \displaystyle x så att \displaystyle x\ll 1 gäller följande approximation:
\displaystyle \sqrt{1+x}\approx 1+x/2.
För att härleda uttrycket kvadrerar vi högerledet och bortser från \displaystyle x^2-termer och högre potenser av \displaystyle x om sådana finns:
\displaystyle (1+x/2)^2=1+x+(x/2)^2 \approx 1+x \Rightarrow \sqrt{1+x}\approx 1+x/2
eftersom \displaystyle x^2 kan försummas jämfört med \displaystyle x då \displaystyle x \ll 1. Vi kommer även använda approximationen
\displaystyle \frac{1}{1+x} \approx 1-x,
som följer ur betraktandet \displaystyle (1-x)(1+x)=1-x^2 \approx 1. En annan viktig approximation används när vi studerar rotuttrycket
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx 1-x/2.
Detta kan härledas enligt \displaystyle 1/\sqrt{1+x} \approx 1/(1+x/2) \approx 1-x/2. I samtliga formler ovan kan \displaystyle x byta tecken eller bytas mot \displaystyle x^2. Exempel:
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\approx 1+x^2/2
Derivator

Derivatan av en funktion \displaystyle f definieras som
\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},
där intervallet \displaystyle \Delta x ska gå mot noll. Exempel: en rät linje med riktningskoefficient eller lutningen \displaystyle k har ekvationen \displaystyle f(x)=kx+l och derivatan blir
\displaystyle \frac{df}{dx} =\frac{[k(x+\Delta x)+l]-[kx+l]}{\Delta x} =k.
Alltså är derivatan lika med lutningen. För en ickelinjär funktion är derivatan i punkten \displaystyle x lika med tangentens lutning och varierar med \displaystyle x. Exempel: för \displaystyle f=x^2 blir
\displaystyle \frac{df}{dx} =\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =\frac{x^2+2x\Delta x+ (\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =2x+\Delta x=2x
eftersom \displaystyle \Delta x-termen går mot noll. Vi behöver ett resultat till som vi ska använda utan härledning. Derivatan ovan är ett specialfall av deriveringsregeln
\displaystyle \frac{dx^y}{dx}=yx^{y-1},
där \displaystyle y inte behöver vara ett heltal. Vi behöver även derivera sammansatta funktioner av typ \displaystyle f(g(x)) vilket görs med kedjeregeln
\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}.
Exempel: bestäm derivatan av \displaystyle f(x)=1/\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{-1/2}. Kedjeregeln med \displaystyle f(g)=g^{-1/2} och \displaystyle g(x)=1-x^2 ger
\displaystyle \frac{df}{dx} =-\frac{1}{2}g^{-3/2}\cdot(-2x) =\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.
Kedjeregeln kan även skrivas
\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df/dg}{dx/dg},
där vi utnyttjat formeln för derivatan av en invers funktion: \displaystyle dg/dx=1/(dx/dg).

Grekiska bokstäver

Många fysikaliska storheter betecknas med bokstäver från det grekiska alfabetet, så även storheter som förekommer inom speciell relativitetsteori. Det grekiska alfabetet är:

	Svensk transkribering		Svensk transkribering
\displaystyle \alpha	alfa	\displaystyle \nu	ny
\displaystyle \beta	beta	\displaystyle \xi	xi
\displaystyle \gamma	gamma	\displaystyle o	omikron
\displaystyle \delta	delta	\displaystyle \pi	pi
\displaystyle \epsilon	epsilon	\displaystyle \rho	rho
\displaystyle \zeta	zeta	\displaystyle \sigma	sigma
\displaystyle \eta	eta	\displaystyle \tau	tau
\displaystyle \theta	theta	\displaystyle \upsilon	ypsilon
\displaystyle \iota	jota	\displaystyle \phi	fi
\displaystyle \kappa	kappa	\displaystyle \chi	chi
\displaystyle \lambda	lambda	\displaystyle \psi	psi
\displaystyle \mu	my	\displaystyle \omega	omega