Relativitetsteori2018

Invarianter av den typ som vi introducerat ovan är mycket användbara när vi vill studera partikelsönderfall och relativistiska kollisioner av partiklar som bland annat förekommer vid partikelacceleratorer som Large Hadron Collider vid CERN.

Sönderfall [sec:sonderfall]

Vi börjar med att studera en sönderfallande partikel med massan \displaystyle M och antar att denna sönderfaller till två partiklar med massorna \displaystyle m_1 respektive \displaystyle m_2. I ett godtyckligt inertialsystem kan vi beteckna den ursprungliga partikelns energi \displaystyle E och dess rörelsemängd \displaystyle p samtidigt som vi betecknar dotterpartiklarnas energier \displaystyle E_1 respektive \displaystyle E_2 och deras rörelsemängder \displaystyle p_1 respektive \displaystyle p_2. Energins och rörelsemängdens bevarande talar nu om för oss att energin före sönderfallet är lika med energin efter
\displaystyle E = E_1 + E_2
samt att rörelsemängden före sönderfallet är lika med rörelsemängden efter
\displaystyle p = p_1 + p_2.
Samtidigt vet vi att 4-rörelsemängderna \displaystyle P = (E,pc), \displaystyle P_1 = (E_1,p_1c) och \displaystyle P_2 = (E_2,p_2c) alla transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen vid byte av inertialsystem. Vi kan använda oss av detta för att dra fysikaliska slutsatser från beräkningen av ett antal invarianter.

[ex:partikelsonderfall] En partikel sönderfaller
Bevarandet av rörelsemängd och energi leder till att \displaystyle P = (E,pc) = (E_1+E_2,p_1c + p_2c) = P_1 + P_2. Om vi nu beräknar invarianten \displaystyle P\cdot P erhålls
\displaystyle P\cdot P = E^2 - p^2 c^2 = M^2 c^4,
vilket vi redan är bekanta med. Genom att uttrycka ett av våra \displaystyle P i termer av energin och rörelsemängden efter sönderfallet får vi också
\displaystyle P\cdot P = E(E_1 + E_2) - c^2 p(p_1 + p_2) = M^2 c^4.
Eftersom det rör sig om en invariant så beror dess värde inte på vilket inertialsystem som används för att beräkna den. Speciellt kan vi beräkna invarianten i den ursprungliga partikelns vilosystem där \displaystyle p = 0 och \displaystyle E = Mc^2, vilket ger
\displaystyle M^2 c^4 = Mc^2 (m_1c^2\gamma_1 + m_2c^2\gamma_2) \quad \Longrightarrow \quad M= m_1 \gamma_1 + m_2 \gamma_2 ,
där \displaystyle \gamma_1 och \displaystyle \gamma_2 är dotterpartiklarnas lorentzfaktorer i detta system. Eftersom \displaystyle \gamma_i \geq 1 erhålls därigenom
\displaystyle M \geq m_1 + m_2,
det vill säga för att sönderfallet ska kunna inträffa är summan av dotterpartiklarnas massor maximalt lika med den sönderfallande partikelns massa.

Ibland sönderfaller partiklar inte bara till två dotterpartiklar utan till tre eller fler. Samma idé går då att applicera på sådana sönderfall och den viktiga punkten är att både rörelsemängden och energin måste bevaras samt att vi kan skapa invarianta storheter som antar samma värde i alla inertialsystem.

En maximal elektronenergi
Vi kan studera neutronsönderfallet \displaystyle n \to p + e^- + \nu där en neutron \displaystyle n sönderfaller till en proton \displaystyle p, en elektron \displaystyle e^- och en neutrino \displaystyle \nu. Vi kan notera alla 4-rörelsemängder \displaystyle P_i = (E_i, \vec p_i) där \displaystyle i överallt kan bytas ut mot motsvarande partikelbeteckning.

Bevarandet av rörelsemängd och energi ger oss nu att
\displaystyle P_n = (E_n,\vec p_n) = (E_p+E_e+E_\nu,\vec p_p + \vec p_e + \vec p_\nu) = P_p + P_e + P_\nu.
Vi kan ställa oss frågan vad den maximala energin hos elektronen som sönderfallet resulterar i är i neutronens vilosystem. Detta kan lösas genom att vi subtraherar \displaystyle P_e på båda sidor av rörelsemängdens och energins bevarande och får
\displaystyle P = P_n - P_e = (E_n-E_e, \vec p_n - \vec p_e) = P_p + P_\nu,
där \displaystyle P är skillnaden mellan neutronens och elektronens 4-rörelsemängder. I neutronens vilosystem gäller att \displaystyle E_n = m_n c^2, \displaystyle \vec p_n = 0 samt att \displaystyle E_e är den sökta elektronenergin. Vi beräknar nu
\displaystyle P\cdot P = (m_n c^2 - E_e)^2 - \vec p_e^{\,2} = m_n^2 c^4 - 2E_e m_nc^2 + m_e^2 c^4.
På grund av rörelsemängden och energins bevarande vet vi att detta också kan beräknas enligt
\displaystyle P\cdot P = (P_p + P_\nu) \cdot (P_p + P_\nu),
men eftersom \displaystyle P\cdot P är en invariant behöver vi inte beräkna detta i samma inertialsystem eftersom en invariant har samma värde i alla inertialsystem. Vi kan därför välja att i stället beräkna högerledet i protonens vilosystem \displaystyle S' där \displaystyle E'_p = m_p c^2, \displaystyle \vec p_p = 0 vilket ger
\displaystyle P\cdot P = (m_pc^2 + E'_\nu)^2 - \vec p_\nu^{\,2} = m_p^2 c^4 + 2E'_\nu m_p c^2 + m_\nu^2 c^4,
där vi kan lösa ut
\displaystyle E_e = \frac{m_n^2 c^4 - (m_p^2 c^4 + 2E'_\nu m_p c^2 + m_\nu^2 c^4)}{2m_n c^2}.
Eftersom \displaystyle E'_\nu = m_\nu \gamma c^2 \geq m_\nu c^2 kan detta skrivas som en olikhet
\displaystyle E_e \leq \frac{m_n^2 c^4 - (m_p c^2 + m_\nu c^2)^2}{2m_n c^2}.
Även om neutriner har en nollskild massa (en upptäckt som resulterade i Nobelpriset 2015) är denna så liten att den oftast är praktiskt sett försumbar. I dessa situationer kan vi approximera resultatet genom att sätta \displaystyle m_\nu \simeq 0 och då i stället erhålla
\displaystyle E_e \lesssim \frac{m_n^2 c^2 - m_p^2 c^2}{2m_n}.

Kollisioner

Energin och rörelsemängden bevaras inte bara i partikelsönderfall utan även då partiklar kolliderar med varandra, som exempelvis vid partikelacceleratorn LHC vid CERN, men det finns även andra tillämpningar där relativitetsteori kan appliceras. Grundprincipen är att summan av de inkommande rörelsemängderna och energierna alltid måste vara lika med de utgående. Schematiskt kan vi skriva detta som
\displaystyle E_{\rm in} = E_{\rm ut} \quad \mbox{och} \quad \vec p_{\rm in} = \vec p_{\rm ut}.
Om vi har två partiklar som kolliderar och kollisionen resulterar i tre andra partiklar så kommer detta kunna skrivas
\displaystyle E_1 + E_2 = E_3 + E_4 + E_5, \quad \vec p_1 + \vec p_2 = \vec p_3 + \vec p_4 + \vec p_5,
där vi betecknar de inkommande partiklarna 1 och 2 och de utgående 3 till 5. Motsvarande samband kan också ställas upp med andra antal inkommande och utgående partiklar.

Ett vanligt förekommande specialfall inträffar då vi har två inkommande och två utgående partiklar, så kallad 2-till-2-spridning, se figur [fig:2till2].

Om vi återigen betecknar de inkommande partiklarna 1 och 2 och de utgående 3 och 4 så ges rörelsemängdens och energins bevarande av sambandet
\displaystyle P_1 + P_2 = P_3 + P_4,
där \displaystyle P_i = (E_i, p_i c) är 4-rörelsemängden för partikel \displaystyle i. Genom att lägga till eller dra bort 4-rörelsemängder på båda sidor av likheten kan vi erhålla andra samband som alla transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen. Exempelvis kan vi dra bort \displaystyle P_3 från båda sidorna och på så sätt erhålla
\displaystyle P_1 + P_2 - P_3 = (E_1+E_2-E_3,\vec p_1 + \vec p_2 - \vec p_3) = P_4 = (E_4, \vec p_4).
Genom att studera invarianten \displaystyle P_4 \cdot P_4 kan vi sluta oss till att
\displaystyle P_4\cdot P_4 = m_4^2 c^4 = (E_1+E_2-E_3)^2 - (\vec p_1 + \vec p_2 - \vec p_3)^2.
Det går också alldeles utmärkt att använda sig av sambandet
\displaystyle P_i \cdot (P_j + P_k) = P_i \cdot P_j + P_i \cdot P_k
vilket följer ur \displaystyle \begin{aligned} (E_i, \vec p_i c) \cdot (E_j+E_k,\vec p_j+ \vec p_k) &= E_i(E_j + E_k) - \vec p_i \cdot (\vec p_j + \vec p_k) \nonumber \\ &= (E_i E_j - \vec p_i \cdot \vec p_j) + (E_i E_k - \vec p_i \cdot \vec p_k) \nonumber \\ &= P_i\cdot P_j + P_i \cdot P_k.\end{aligned} Med hjälp av detta kan vi skriva om \displaystyle \begin{aligned} P_4 \cdot P_4 &= (P_1+P_2-P_3)\cdot(P_1+P_2-P_3) \nonumber \\ &= P_1\cdot P_1 + P_2\cdot P_2 + P_3\cdot P_3 +2P_1\cdot P_2 - 2P_1 \cdot P_3 - 2P_2\cdot P_3 \nonumber \\ &= (m_1^2 + m_2^2 + m_3^2)c^4 + 2(P_1 \cdot P_2 - P_1 \cdot P_3 - P_2\cdot P_3).\end{aligned} Alla de tre kvarvarande invarianterna kan här beräknas i godtyckligt inertialsystem just eftersom de är invarianter.

Comptonspridning
Typexemplet på en 2-till-2-kollision är så kallad comptonspridning där en foton med en given energi \displaystyle E_0 kolliderar med en elektron i vila i laboratoriesystemet \displaystyle S och resulterar i att fotonen deflekteras med en vinkel \displaystyle \theta, se figur [fig:compton].

Vi ställer oss frågan vad den nya fotonens energi är i \displaystyle S och kan direkt applicera ovanstående resonemang. Vi låter den inkommande fotonen vara partikel 1 och den utgående partikel 3 medans den ursprungliga elektronen är partikel 2 och den utgående är partikel 4. Detta leder till att \displaystyle m_1 = m_3 = 0 och att \displaystyle m_2 = m_4 = m_e där \displaystyle m_e är elektronmassan. Vår argumentation leder nu till att
\displaystyle m_e^2 c^4 = m_e^2 c^4 + 2(P_1 \cdot P_2 - P_1 \cdot P_3 - P_2 \cdot P_3) \quad \Longrightarrow \quad P_1 \cdot P_2 = (P_1 + P_2) \cdot P_3.
Då vi är ute efter att uttrycka \displaystyle E i termer av \displaystyle E_0 beräknar vi alla dessa storheter i systemet \displaystyle S där
\displaystyle P_1 = (E_0, \vec p_1), \quad P_2 = (m_ec^2, 0), \quad P_3 = (E, \vec p_3).
Vi noterar även att i detta inertialsystem har rörelsemängderna \displaystyle \vec p_1 och \displaystyle \vec p_3 komponenterna
\displaystyle p_{1x} = E_0, \ p_{1y} = 0, \ p_{1z} = 0 \ p_{3x} = E\cos(\theta), \ p_{3y} = E\sin(\theta), \ p_{3z} = 0.
Detta leder till \displaystyle \begin{aligned} P_1 \cdot P_2 &= E_0 m_ec^2 = (P_1+P_2)\cdot P_3 = [(E_0 + m_ec^2) - E_0 \cos(\theta)]E \nonumber \\ &= E[m_ec^2 + E_0(1-\cos(\theta))].\end{aligned} Löser vi ut \displaystyle E ur detta erhålls
\displaystyle E = \frac{E_0}{1 + \frac{E_0}{m_ec^2}[1-\cos(\theta)]}.
Detta uttryck kallas för comptonformeln och verifierades experimentellt 1923 av Arthur Holly Compton, efter vilken formeln uppkallats. För detta tilldelades Compton Nobelpriset år 1927.

Sammanfattning:

• Energin och rörelsemängden för ett objekt i inertialsystemen \displaystyle S och \displaystyle S' förhåller sig till varandra enligt \displaystyle E' = \gamma \left(E - \frac{v}{c} pc\right) \quad \mbox{och} \quad

p'c = \gamma \left(pc - \frac{v}{c} E\right). Detta är lorentztransformationen för energi och rörelsemängd.

• Om storheterna \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 transformeras enligt \displaystyle k_0' = \gamma \left(k_0 - \frac{v}{c} k_1\right) \quad \mbox{och} \quad

k_1' = \gamma \left(k_1 - \frac{v}{c} k_0\right) vid byte av inertialsystem sägs de uppfylla den allmänna lorentztransformationen. Ett sådant par av storheter kan med fördel skrivas som \displaystyle k = (k_0,k_1).

• För energin \displaystyle E och rörelsemängden \displaystyle p hos ett objekt definierar vi 4-rörelsemängden \displaystyle P = (E,pc) som uppfyller den allmänna lorentztransformationen.
• Om två par av storheter \displaystyle k = (k_0,k_1) och \displaystyle q = (q_0,q_1) uppfyller den allmänna lorentztransformationen så gäller att \displaystyle k\cdot q = k_0 q_0 - k_1 q_1 = k'_0 q'_0 - k'_1 q'_1 = k'\cdot q'. Storheten \displaystyle k\cdot q beror därför inte på vilket inertialsystem det evalueras i och kallas för en invariant.
• Vi kan med fördel använda oss av invarianter för att studera sönderfall och kollisioner med hjälp av relativitetsteori.