Relativitetsteori2018

Läromål:

• Behärska de relativistiska definitionerna av rörelsemängd och energi och övergången till den klassiska gränsen.
• Känna till vad bevarandelagar är, vilka som gäller i relativitetsteorin samt skillnaden gentemot klassisk mekanik.
• Kunna redogöra för vad viloenergi är och relationen till massa.
• Kunna utföra enkla beräkningar med relativistisk rörelsemängd och energi.
• Kunna redogöra för den relativistiska hastighetsgränsen.
• Känna till några viktiga exempel där \displaystyle E=mc^2 ingår.

Vi har tidigare diskuterat hur relativitetsteorin reviderar begreppen tid och rum. I detta kapitel studeras hur den klassiska mekaniken behöver revideras för att hänga ihop med den nya synen på tid och rum. Detta kommer att leda till nya viktiga naturlagar med långtgående konsekvenser inom vetenskap och teknik. Huvudresultaten är att den klassiska fysikens definitioner av rörelsemängd och energi behöver revideras. Detta leder till att begreppet massa får en ny betydelse i form av en viloenergi som ges av \displaystyle E=mc^2 och saknar klassisk motsvarighet, och att den klassiska lagen om massans bevarande överges. Einsteins banbrytande förutsägelse innebär mer än en djup teoretisk insikt, den förklarar många olika experimentella resultat och är som vi ska se även viktig inom tillämpningar. Vi inleder kapitlet med ett argument som direkt leder till \displaystyle E=mc^2.

Einsteins låda
Studera en sluten låda med massa \displaystyle M och sidlängd \displaystyle L som är i vila och inte påverkas av några yttre krafter. Se figur [fig8_1_Einsteins_lada].

[fig8_1_Einsteins_lada]

En ljuspuls med energin \displaystyle E avges inuti lådan från den vänstra väggen och absorberas i den högra väggen. Vi ska utan härledning använda en egenskap hos ljus som följer ur Maxwells ekvationer och som vi ska diskutera mer senare i kapitlet: ljus med energi \displaystyle E har rörelsemängd \displaystyle p som ges av \displaystyle E=pc eller \displaystyle p=E/c. På grund av bevarandet av den totala rörelsemängden hos ljuset plus lådan, \displaystyle p_{\rm l\text{\normalfont å}da}+p_{\rm ljus}=0, fås en kraft på vänstra väggen när ljuset avges som ger lådan hastigheten \displaystyle v=-E/(Mc) riktad åt vänster eftersom lådans rörelsemängd ges av \displaystyle Mv. Vid absorptionen i lådans högra vägg efter tiden \displaystyle t=L/c fås en lika stor motriktad kraft och lådan stannar. Nettoeffekten är att lådan flyttas till vänster med sträckan \displaystyle \Delta x=vt=-LE/(Mc^2). Men inga yttre krafter verkar på lådan så lådans masscentrum måste vara i vila. Eftersom lådan flyttas måste därför massan i vänstra väggen minska när ljuset avges, och öka i högra väggen när ljuset absorberas. Villkoret för att lådans tyngdpunkt står stilla när massan \displaystyle m flyttas mellan väggarna är \displaystyle mL + M\Delta x = mL - LE/c^2 = 0. Detta ger direkt sambandet \displaystyle E = mc^2 mellan strålningsenergin och den flyttade massan.<ref>Resonemanget försummar att avståndet som massan \displaystyle m flyttas ska vara \displaystyle L+\Delta x i stället för \displaystyle L, och att lådans massa blir \displaystyle M-m i stället för \displaystyle M när ljuset avges. Dessa förenklingar ändrar inte slutresultatet.</ref>