Relativitetsteori2018

Vi ska nu diskutera den relativistiska mekanikens revision av massa, energi och rörelsemängd. Vi ska börja med att diskutera rörelsemängd. Som vi ska se kommer denna analys även att leda till revisionen av energi och massa. I förra avsnittet fann vi att invariansen hos bevarandelagen för rörelsemängden beror på galileitransformationen. När vi i relativitetsteorin ersätter denna med lorentztransformationen kommer rörelsemängdens bevarande inte att gälla, åtminstone inte om vi definierar rörelsemängden på samma sätt som tidigare. Detta betyder att den klassiska mekanikens grunder behöver revideras. Vi ställer några grundläggande krav på den relativistiska mekaniken:

• Teorin ska stämma med experiment både vid låga och höga relativa hastigheter.
• Vid låga hastigheter fungerar klassiska mekanik bra, så denna gräns ska vara inbyggd.
• Bevarandelagar ska gälla även i relativitetsteorin.

Vi ska börja med att analysera varför den klassiska definitionen av rörelsemängd, \displaystyle p=m\,dx/dt, inte fungerar inom relativitetsteorin. I det ickerelativistiska exemplet ovan med kolliderande partiklar fann vi att rörelsemängden bevaras i alla inertialsystem. Rörelsemängdens bevarande betyder att \displaystyle p har samma värde före och efter en kollision, oberoende av val av inertialsystem. Klassiskt beror invariansen hos rörelsemängdens bevarande på att \displaystyle dx' = dx - v\, dt leder till att \displaystyle p' = dx'/dt = p - mv där \displaystyle mv enbart är en konstant som inte påverkar rörelsemängdens förändring, det vill säga \displaystyle dp' = dp. Om vi försöker göra motsvarande argumentation när vi bytt ut galileitransformationen mot lorentztransformationen stöter vi på ett par problem. Till att börja med är tiden inte längre lorentzinvariant och om vi deriverar med avseende på en tid i ett specifikt inertialsystem kommer denna att bero på vilket inertialsystem vi väljer. För att komma runt detta behöver tidsintervallet \displaystyle dt i definitionen av rörelsemängden ersättas med ett invariant tidsintervall som vi nu ska konstruera.

Relativitetsteorin har ett mycket användbart uttryck för avståndet mellan händelser. Det rumsliga avståndet i kvadrat mellan två punkter med separationsvektor \displaystyle (\Delta x,\Delta y,\Delta z) i det tredimensionella rummet ges av \displaystyle \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 och är invariant under galileitransformationer, det vill säga uttrycket har samma värde efter en galileitransformation till ett nytt koordinatsystem. Tidsavståndet i kvadrat mellan två händelser, \displaystyle \Delta t^2, är också invariant under en galileitransformation enligt antagandet om absolut tid. Inget av dessa avståndsmått blir invariant i relativitetsteorin, eftersom lorentztransformationen blandar tids- och rumskoordinaterna. I relativitetsteorin konstrueras ett nytt invariant avståndsbegrepp som innehåller både tids- och rumskoordinaterna. Relativitetsteorins invarianta rumtidsintervall skrivs \displaystyle \Delta s och definieras genom
\displaystyle (\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2.
Till skillnad från avståndsformeln i tredimensionella rummet innehåller detta uttryck även minustecken, men det är precis vad som krävs av invarians under lorentztransformationen \displaystyle c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-v\Delta x/c), \displaystyle \Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t), \displaystyle \Delta y'=\Delta y, \displaystyle \Delta z'=\Delta z. Härledning: \displaystyle \begin{aligned} (\Delta s')^2 =&(c\Delta t')^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2 \nonumber \\ =&\gamma^2[(c\Delta t-v\Delta x/c)^2-(\Delta x-v\Delta t)^2] -\Delta y^2-\Delta z^2 \nonumber \\ =&\gamma^2[c^2\Delta t^2+\Delta x^2v^2/c^2-2\Delta t\Delta xv \nonumber \\ & -\Delta x^2-v^2\Delta t^2+2\Delta t\Delta xv]-\Delta y^2-\Delta z^2 \nonumber \\ =&(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 \nonumber \\ =&(\Delta s)^2.\end{aligned}

Det invarianta rumtidsintervallet kan skrivas om som ett invariant tidsintervall. Först bryter vi ut den gemensamma faktorn \displaystyle \Delta t. Sedan låter vi \displaystyle \Delta t vara mycket litet och skriver det då som \displaystyle dt. Dividera slutligen med den invarianta ljushastigheten \displaystyle c. Vi får då ett invariant tidsintervall som skrivs \displaystyle d\tau och ges av
\displaystyle d\tau^2 = dt^2\left(1-\frac{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}{c^2}\right) =\frac{dt^2}{\gamma^2},
där \displaystyle \tau är egentiden som infördes tidigare när vi diskuterade tidsdilatation som tiden i vilosystemet. Detta ger tidsdilatationsformeln på formen \displaystyle dt=\gamma \, d\tau. Division med \displaystyle d\tau ger derivatan
\displaystyle \frac{dt}{d\tau} = \gamma
som vi kommer att använda ofta.

I och med konstruktionen av det invarianta tidsintervallet \displaystyle d\tau kan vi ta oss runt det första problemet med att definiera den relativistiska rörelsemängden, att \displaystyle dt inte var invariant under lorentztransformationer. Vi ersätter därför \displaystyle dt med \displaystyle d\tau och definierar den relativistiska rörelsemängden[def:rorelsemangd] i \displaystyle x-riktningen enligt
\displaystyle \label{eq:relativistiskrorelsemangd} p = m \frac{dx}{d\tau} = m \frac{dt}{d\tau}\frac{dx}{dt} = \gamma mv,
där \displaystyle v = dx/dt och vi använt kedjeregeln för derivering.<ref>Den hastighetsberoende kombinationen \displaystyle \gamma m kallas ibland för den relativistiska massan och skiljs från \displaystyle m som då kallas vilomassan. Detta begrepp förekommer ofta i äldre litteratur men leder många gånger till missuppfattningar. Vi kommer därför inte att använda detta begrepp utan reserverar \displaystyle m för den invarianta vilomassan.</ref> För rörelse i tre dimensioner blir \displaystyle (p_x,p_y,p_z)= \gamma m (v_x,v_y,v_z). Den relativistiska rörelsemängden övergår i det klassiska uttrycket \displaystyle p=mv för små hastigheter då \displaystyle \gamma\approx 1, vilket är ett krav på den relativistiska definitionen.

Om denna definition leder till att rörelsemängdens bevarande är invariant under lorentztransformationer så är definitionen rimlig. Låt oss därför kontrollera om detta är sant. Vi börjar med att uttrycka rörelsemängden i inertialsystemet \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S enligt
\displaystyle p' = m \frac{dx'}{d\tau} = \left[ \gamma m \frac{dx}{d\tau} - \gamma mv \frac{dt}{d\tau}\right],
där vi har uttryckt \displaystyle dx' i termer av \displaystyle dx och \displaystyle dt med hjälp av lorentztransformationen. Sätter vi nu in definitionen av den relativistiska rörelsemängden i \displaystyle S i detta uttryck erhålls
\displaystyle p' = \gamma \left[ p - v m\frac{dt}{d\tau}\right].
Vi kan nu kontrollera om rörelsemängdens bevarande är invariant. I en kollision mellan två objekt sätter vi deras rörelsemängder i \displaystyle S innan kollisionen till \displaystyle p_{1,\rm in} och \displaystyle p_{2,\rm in} och efter till \displaystyle p_{1,\rm ut} och \displaystyle p_{2,\rm ut}. Om rörelsemängden är bevarad i \displaystyle S gäller därför att
\displaystyle p_{1,\rm in} + p_{2,\rm in} = p_{1,\rm ut} + p_{2,\rm ut}.
Om vi nu utgår från summan av rörelsemängderna i \displaystyle S' innan kollisionen erhåller vi \displaystyle \begin{aligned} p'_{1,\rm in} + p'_{2,\rm in} &= \gamma \left[p_{1,\rm in} + p_{2,\rm in} - v \left(m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}\right)\right] \nonumber \\ &= \gamma \left[p_{1,\rm ut} + p_{2,\rm ut} - v \left(m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}}\right)\right],\end{aligned} där vi använt oss av rörelsemängdens bevarande i \displaystyle S. Jämför vi detta med den totala rörelsemängden i \displaystyle S' efter kollisionen erhålls \displaystyle \begin{aligned} p'_{\rm tot,ut} - p'_{\rm tot, in} &= p'_{1,\rm ut} + p'_{2,\rm ut} - p'_{1,\rm in} - p'_{2,\rm in}\nonumber \\ &= \gamma v \left[ m_1\left(\frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}}- \frac{dt}{d\tau_{1,\rm ut}}\right) + m_2 \left(\frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}} - \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}\right)\right].\end{aligned} För att den relativistiska rörelsemängden ska vara bevarad även i \displaystyle S' krävs således att högerledet här är lika med noll. Detta går att lösa om vi förutom rörelsemängdens bevarande också antar att summan av storheten \displaystyle m\, dt/d\tau = \gamma m för de olika objekten är bevarad i \displaystyle S, det vill säga
\displaystyle m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}} = m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm ut}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}.
Vi ska strax tolka denna nya bevarandelag.

Bevarande av relativistisk rörelsemängd
För att se hur den relativistiska rörelsemängdens bevarande fungerar ska vi studera ett exempel. Två identiska partiklar rör sig längs \displaystyle z-axlarna i var sitt inertialsystem \displaystyle S och \displaystyle S'. Partikel 1 har hastighet \displaystyle u i \displaystyle S', och partikel 2 har hastighet \displaystyle -u i \displaystyle S. Inertialsystemen \displaystyle S och \displaystyle S' har relativ hastighet \displaystyle v i \displaystyle x-riktningen. När origo i \displaystyle S och \displaystyle S' sammanfaller kolliderar partiklarna och fastnar i varandra, så att den sammansatta partikeln efter kollisionen har rörelsemängden noll i \displaystyle z-riktningen. Kravet på bevarandet av rörelsemängd i detta exempel är att totala rörelsemängden i \displaystyle z-riktningen innan kollisionen är noll i alla inertialsystem. Observerat från \displaystyle S' blir hastigheten i \displaystyle z-led hos partikeln som rör sig längs \displaystyle z-axeln i S
\displaystyle u'=\frac{dz'}{dt'}=\frac{dz}{\gamma dt}=-\frac{u}{\gamma(v)},
där \displaystyle dz'=dz enligt lorentztransformationen, och tidsdilatationen ger \displaystyle dt'=\gamma(v) dt. Innan kollisionen har partiklarna rörelsemängderna
\displaystyle p_1=\gamma(u)mu \;,\; p_2=\gamma(w)mu'=-\frac{\gamma(w)}{\gamma(v)}mu,
där \displaystyle w är totala hastigheten hos partikel 2. Låt nu \displaystyle u vara så liten att vi kan sätta \displaystyle \gamma(u)=1 och \displaystyle \gamma(w)=\gamma(v). Då blir \displaystyle p_1+p_2=0 innan kollisionen och bevarandet fungerar. Detta visar att \displaystyle \gamma behövs i definitionen \displaystyle p=\gamma mv för att kompensera för tidsdilatation.

Resonemanget ovan visar att kravet på invarians hos rörelsemängdsbevarande leder till en bonus i form av en ny bevarandelag för storheten \displaystyle \gamma m som vi nu ska studera mer i detalj. Av skäl som snart klarnar inför vi storheten
\displaystyle E = \gamma mc^2 ,
som enbart skiljer sig ifrån \displaystyle \gamma m med den konstanta faktorn \displaystyle c^2. För låga hastigheter \displaystyle v \ll c gäller nu att
\displaystyle E \approx mc^2 \left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right) = mc^2 + \frac{mv^2}{2}.
Termerna i högerledet är energin \displaystyle mc^2 som vi konstruerade i exemplet med Einsteins låda, och den andra termen känns igen som den klassiska rörelseenergin. Vi kan därför tolka den nya bevarade storheten som en energi. I vila är \displaystyle v = 0 och \displaystyle \gamma=1, och energin kallas viloenergin[def:viloenergi]
\displaystyle E = mc^2.
Bevarandelagen vi förutom rörelsemängdens bevarande i \displaystyle S behöver för att rörelsemängdens bevarande ska vara invariant är alltså inget annat än energins bevarande!

\displaystyle \boldsymbol{E=mc^2} ger bränsle till stjärnorna
Innan relativitetsteorin var stjärnljus ett mysterium. Varifrån kommer den enorma energin som utstrålas i miljarder år? Förklaringen finns i Einsteins låda som visar att massa kan omvandlas till strålningsenergi enligt \displaystyle E=mc^2. Från satellitmätningar kan den totala effekten, eller energin som utstrålas per sekund, från vår sol uppskattas till \displaystyle 3.86\cdot 10^{26} W (\displaystyle 1~\mbox{W} = 1~\mbox{J/s}). Energin kommer från fusionsreaktioner i solens kärna. Nettoresultatet av en komplex reaktionskedja är att fyra protoner går ihop till en heliumkärna (alfapartikel) varpå massan minskar med 0.7 %. Massan som omvandlas till energi per sekund kan ur \displaystyle m = E/c^2 uppskattas till fyra miljarder kilo varje sekund. Det kommer att ta ungefär 5 miljarder år innan protonerna tar slut och fusionsreaktionen slocknar. Som jämförelse kan nämnas den mest kraftfulla explosion som orsakats av människor, den sovjetiska vätebomben Tsar Bomba som sprängdes 1961, var på 50 megaton TNT eller \displaystyle 210\cdot 10^{15} J.

[ex:emc2karnkraft] \displaystyle \boldsymbol{E=mc^2} ger bränsle till kärnkraft
I ett kärnkraftverk kommer energin från en fissionsreaktion. Fusion innebär en sammanslagning av partiklar, medan fission innebär en klyvning av atomkärnan. I kärnkraftverk är bränslet uran som består av en blandning av isotoperna U-238 och U-235. U-235-atomer genomgår de fissionsreaktionerna som genererar energin. Kärnan, som består av protoner och neutroner, är instabil och sönderfaller genom att skicka ut neutroner. När neutronerna träffar andra uranatomer splittras även dessa vilket leder till en kedjereaktion som gör fissionsreaktionen självgående. Uranbränslet i reaktorn har form av pellets som packas inuti rör och placeras i en bassäng med vatten. För att kontrollera kärnreaktionen används kontrollstavar som kan skjutas in mellan bränslestavarna och då absorberar delar av neutronstrålningen som upprätthåller kedjereaktionen. Fissionsreaktionen omvandlar en liten andel viloenergi till värmeenergi enligt \displaystyle E=mc^2. Denna värme används för att koka vatten till ånga. Ångan driver en turbin som roterar en generator som genererar elektricitet. Om man någon gång i framtiden kan åstadkomma kontrollerad fusionskraft så kan det lösa problemet med energiförsörjningen eftersom fusion frigör enorma energier. Bränslet är väte som finns i vatten och är inte radioaktivt. Trots betydande forskningsansträngningar har svårigheterna hittills överträffat förväntningarna och även om framsteg gjorts kommer det troligen att ta ganska lång tid innan detta problem är löst.

Vi ska nu analysera \displaystyle E=\gamma mc^2 och komma fram till ännu en ny invariant. Ur det invarianta rumtidsintervallet \displaystyle \Delta s som ger avståndet mellan händelser kan en ny invariant kvantitet konstrueras. Ovan visades att det invarianta tidsintervallet \displaystyle d\tau uppfyller
\displaystyle dt^2 (1-v^2/c^2)=d\tau^2.
Division med \displaystyle d\tau^2 och multiplikation med \displaystyle m^2c^2 ger
\displaystyle \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 (m^2c^2-m^2v^2)=m^2c^2.
Med \displaystyle \gamma=dt/d\tau fås
\displaystyle \gamma^2m^2c^2 - p^2 = m^2c^2,
där \displaystyle p^2=\gamma^2 m^2 v^2 är längden i kvadrat av rörelsemängdsvektorn \displaystyle (p_x,p_y,p_z). Med \displaystyle E=\gamma mc^2 fås
\displaystyle E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 .
Högerledet är en konstant vars värde inte ändras vid lorentztransformationer. Alltså är uttrycket i vänsterledet en invariant som antar samma värde i alla inertialsystem, trots att både energi och rörelsemängd är systemberoende. Utöver det invarianta rumtidsintervallet har vi nu konstruerat en ny invariant: energi-rörelsemängdsinvarianten[def:energirorelsemangd] \displaystyle m^2c^4. Genom att lösa ut \displaystyle E fås ett nytt uttryck för den relativistiska energin
\displaystyle E= \gamma mc^2 = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.
Vi har redan sett att den relativistiska energin för låga hastigheter kan approximeras enligt
\displaystyle E = mc^2 + \frac{mv^2}{2} = mc^2 + \frac{p^2}{2m},
där den andra termen är den klassiska kinetiska energin. I den relativistiska gränsen \displaystyle v\approx c är det klassiska uttrycket för kinetisk energi inte längre användbart och den relativistiska kinetiska energin definieras i stället som den totala energin minus viloenergin, det vill säga
\displaystyle T=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-mc^2=(\gamma-1)mc^2.
Vid små hastigheter approximeras denna mycket väl med den klassiska kinetiska energin \displaystyle T=p^2/(2m).

Den relativistiska rörelselagen ser likadan ut som i det klassiska fallet:
\displaystyle F = \frac{dp}{dt}
med den viktiga skillnaden att det är den relativistiska rörelsemängden \displaystyle p=\gamma mv som ingår. Rörelselagen innehåller rörelsemängdens bevarande: om \displaystyle F=0 så beror \displaystyle p inte på tiden \displaystyle t.

Relativitetsteorins förutsägelse om att rörelsemängd och energi innehåller lorentzfaktorn har bekräftats direkt i många experiment. En tidig bekräftelse kom i experiment med elektronstrålar i elektriska och magnetiska fält av Kaufmann, Bucherer och andra. En praktisk tillämpning av relativitetsteorin sker dagligen i en modern variant av dessa experiment i den gamla sortens tjock-TV monitorer och i oscilloskop. Dessa innehåller ett katodstrålerör som är en elektronaccelerator från vilken elektronstrålen genererar en bild när den träffar pixlar på en fluorescerande skärm. Deflektionsmagneterna som riktar strålen mot rätt punkt på bildskärmen är konstruerade med hänsyn taget till relativistiska korrektioner.

[ex:katodstraleror] Katodstrålerör
I ett katodstrålerör accelereras en elektron över spänningen \displaystyle V=35 kV. Vad blir elektronens sluthastighet klassiskt och relativistiskt?
(a) Räkna först klassiskt. Kraften på elektronen är \displaystyle F=eE där \displaystyle e=1.6\cdot 10^{-19} C är elektronladdningen och \displaystyle E är elektriska fältet. Arbetet att flytta elektronen sträckan \displaystyle x är \displaystyle W=Fx=eEx=eV där \displaystyle V=Ex är spänningen. Energins bevarande ger att ändringen i rörelseenergi är lika med arbetet: \displaystyle \frac{1}{2}mv^2=eV där \displaystyle m=9.1\cdot 10^{-31} kg är elektronmassan. Detta ger sluthastigheten \displaystyle v=\sqrt{2eV/m}=

   1.109\cdot 10^8 m/s vilket är ungefär \displaystyle c/3. Vid dessa hastigheter är relativistiska effekter inte försumbara och behöver tas med.

(b) Räkna relativistiskt. Elektronens massa ges av viloenergin \displaystyle mc^2=511 keV (1 eV=e J) och efter att ha accelererats i fältet \displaystyle 35 kV får elektronen kinetiska energin 35 keV. Detta ger \displaystyle (\gamma-1)511=35 och \displaystyle \gamma=1.068 samt \displaystyle v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}=1.056\cdot 10^8 m/s vilket är 5% mindre än den klassiska hastigheten i (a). Om den relativistiska effekten försummas kan därför inte elektronstrålen riktas mot rätt pixel och bilden blir oskarp.

Relativistiska lerklumpar
(a) Två lerklumpar med massa \displaystyle m=1 kg kolliderar. Kollisionen analyseras i ett inertialsystem där hastigheterna är lika stora, \displaystyle v=0.1c och motriktade. Efter kollisionen antas klumparna gå ihop till en sammansatt lerklump som står helt stilla. Efter kollisionen får den sammansatta lerklumpen en massa som klassiskt blir \displaystyle M=2m, men detta är inte vad som händer relativistiskt. Antag att klumpen inte strålar ut någon värmeenergi. Då omvandlas den inkommande kinetiska energin till viloenergi efter kollisionen så att \displaystyle \gamma 2mc^2=Mc^2. Detta ger massan efter kollisionen till \displaystyle M=\gamma 2m=2m/\sqrt{1-0.1^2}=2.01 kg som är större än \displaystyle 2m.
(b) Vid normala kollisionshastigheter blir massökningen försumbar. Med \displaystyle v=100 m/s blir massökningen \displaystyle M-2m=(\gamma-1)2m\approx 10^{-13}  kg.

Dynamit
När ett kilo dynamit exploderar frigörs ungefär energin \displaystyle 5\cdot 10^6 J. Explosionen är en kemisk process där en liten del viloenergi omvandlas till kinetisk energi och ljus. Minskningen i massa fås direkt ur \displaystyle E=mc^2 som ger \displaystyle m=E/c^2=5\cdot 10^6/(3\cdot 10^8)^2=6\cdot 10^{-11} kg vilket inte är mätbart. Lagen om bevarande av massa inom kemin uppfylls alltså inte exakt men ger en mycket användbar approximation. Om hela dynamitmassan skulle kunna omvandlas blir energin \displaystyle E=mc^2=1\cdot (3\cdot 10^8)^2=9\cdot 10^{16} J, vilket ungefär motsvarar energiåtgången per år för samtliga vägtransporter i Sverige.

Masslösa partiklar

Vi ska nu visa att masslösa partiklar färdas med ljusets hastighet. Energi-rörelsemängdsinvarianten med \displaystyle m=0 visar att för masslösa partiklar är sambandet mellan energi och rörelsemängd
\displaystyle E = \sqrt{p^2c^2 + m^2 c^4} = pc.
Division av relationerna \displaystyle p=\gamma m v och \displaystyle E=\gamma m c^2 ger
\displaystyle v=\frac{pc^2}{E},
eftersom den gemensamma faktorn \displaystyle \gamma m kancellerar. Med \displaystyle m=0 och \displaystyle E=pc blir hastigheten \displaystyle v=pc^2/pc=c. Alltså rör sig masslösa partiklar alltid med ljushastigheten. Ett exempel är ljus som består av masslösa partiklar som kallas fotoner och studeras inom kvantfysik. Detta är inte helt oväntat eftersom vi i exemplet med Einsteins låda använde att sambandet \displaystyle E=pc gäller för ljus enligt Maxwells ekvationer. Förutsägelsen att ljus består av partiklar gjordes 1905 av Einstein i uppsatsen om fotoelektriska effekten.

Hastighetsgränsen

En viktig förutsägelse inom relativitetsteorin är att ljushastigheten \displaystyle c även är en hastighetsgräns för relativ rörelse och en övre gräns för att skicka materia, signaler och information. I den klassiska fysiken finns ingen hastighetsgräns så detta är en avgörande skillnad mot relativitetsteorin. Vi har redan sett att masslösa partiklar alltid färdas med ljushastigheten. Vad gäller för massiva partiklar? I klassisk fysik kan i princip obegränsade hastigheter uppnås enligt Newtons rörelselag genom att accelerera partiklar i kraftfält: om \displaystyle F är en konstant kraft blir \displaystyle F=\dot{p}\Rightarrow v=p/m=Ft/m som växer obegränsat med tiden \displaystyle t. I relativitetsteorin används i stället den relativistiska kraftlagen och den relativistiska energin \displaystyle E=\gamma mc^2. Om hastigheten \displaystyle v hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem närmar sig ljushastigheten \displaystyle c ökar lorentzfaktorn obegränsat, \displaystyle \gamma\to \infty. Det skulle därför krävas obegränsat med energi för att accelerera massiva partiklar till ljusets hastighet. Alltså kan varken masslösa eller massiva partiklar ha hastigheter större än ljusets hastighet som därmed är en hastighetsgräns. Den relativistiska hastighetsgränsen sätter en gräns för hur snabbt ett rymdskepp kan färdas. Tiden att nå närmsta stjärna bortanför solen, Proxima Centauri blir minst 4 år och tiden för att nå närmsta granngalax Andromedagalaxen blir minst 2.5 miljoner år.

Experiment som påvisar en hastighetsgräns fanns inte på Newtons tid, men är vanliga idag. Hastighetsgränsen bekräftas rutinmässigt i många olika sorters experiment. Det mest slående är moderna partikelacceleratorer. Otaliga acceleratorexperiment bekräftar att partiklar inte kan accelereras till hastigheter större än ljushastigheten. I CERN:s stora accelerator LHC (Large Hadron Collider) accelereras protoner i en ring med 27 km omkrets till 99.999999 % av ljusets hastighet och kollideras med sammanlagd energi av 14 TeV \displaystyle = 14\cdot 10^{12} eV. Denna energi är ca 14000 gånger större än vad som skulle behövas enligt den klassiska mekanikens uttryck för rörelseenergin \displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2 för att accelerera protonen till ljushastigheten. Detta och många liknande experiment demonstrerar att ljusets hastighet är en hastighetsgräns för partiklar och att klassisk mekanik inte fungerar vid hastigheter nära ljushastigheten. En vanlig praktisk användning av partikelacceleratorer sker i sjukvården inom cancerbehandling. Energin för att accelerera protoner som kan tränga genom människokroppen är omkring \displaystyle 250 MeV och motsvarar hastigheten \displaystyle v=0.6c där relativistiska effekter är viktiga.

Hastighetsgränsen är ett förvirrande begrepp och vi ska diskutera flera exempel på hastigheter som kan vara större än \displaystyle c. Exemplen illustrerar olika aspekter av att hastigheten hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem inte kan överstiga ljushastigheten.

Alice och Bob och hastighetsgränsen
Följande exempel visar att hastighetsgränsen och hastigheter större än ljushastigheten är inte samma sak. Alice och Bob åker i var sin rymdraket i motsatt riktning med hastighet \displaystyle v=0.8c relativt Eva som är kvar på jorden. Se figur [fig8_2_hastighetsaddition].

[fig8_2_hastighetsaddition]

Enligt Eva rör sig raketerna mot varandra med hastighet \displaystyle v=0.8c+0.8c=1.6c som verkar strida mot hastighetsgränsen. Svaret är korrekt, men det är inte hastigheten hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem så hastighetsgränsen gäller inte. För att bestämma Bobs hastighet observeras från Alices inertialsystem används relativistiska hastighetsadditionsformeln. Om \displaystyle 0.8c är jordens hastighet relativt Alice och \displaystyle 0.8c är hastigheten hos Bob relativt jorden så blir Bobs hastighet relativt Alices inertialsystem \displaystyle v=\frac{0.8c+0.8c}{1+0.8c\cdot0.8c/c^2}=0.98c, som är mindre än \displaystyle c. Alltså uppfylls hastighetsgränsen.

Sax och hastighetsgräns
(a) Den relativistiska saxen är ett vanligt exempel på hastighet större än \displaystyle c. Antag att vi har en jättesax med ett ljusår långa blad och handtag som är några cm. Detta skapar en enorm hävstång. Om saxens sluts på 0.1 s så rör sig kontaktpunkten mellan saxens blad med hastigheten 10 ljusår i sekunden som är mycket större än \displaystyle c. Detta verkar strida mot hastighetsgränsen. Vad händer? Ett svar är att kontaktpunkten mellan bladen inte är ett fysikaliskt objekt så den kan i princip röra sig snabbare än \displaystyle c. Rörelsen hos fysiska objekt, här atomerna i saxen, är långsammare än \displaystyle c. Men resonemanget är trots det inte korrekt. Antagandet att bladen sluter sig när handtagen sluts stämmer inte. Relativitetsteorin begränsar i princip signalhastigheter till högst \displaystyle c. Signalen om att saxen sluts kan inte sprida sig längs bladen snabbare än \displaystyle c. Det som händer är att bladen deformeras och deformationen sprider sig långsammare än \displaystyle c. Kontaktpunkten rör sig av detta skäl inte snabbare än \displaystyle c. Rörelsen hos atomerna i saxen håller sig inom hastighetsgränsen. För ett verkligt material sprider sig deformationer med en hastighet som är mycket mindre än \displaystyle c. Hastighetsgränsen ger en ny och begränsad innebörd åt begreppet stel kropp eftersom relativistiska deformationer i princip inte går att undvika.
(b) Exemplet (a) kan enkelt modifieras så att det blir korrekt genom att studera ett liknande system i likformig rörelse som därmed undviker deformation. Studera två stavar som bildar vinkeln \displaystyle \phi=1^\circ och passerar varandra med hastighet \displaystyle v=0.1c. Se figur [fig8_stavar]. Stavarna visas som tjocka blå streck. I figuren är den horisontella staven i vila och den lutande staven rör sig nedåt. Punkten där de två stavarna möts (den röda punkten i figuren) rör sig åt höger med hastigheten \displaystyle u som fås ur figuren genom \displaystyle \cot \phi=ut/vt vilket ger \displaystyle u=0.1c \cdot \cot(1^\circ)\approx 5.7c.
(c) Det finns flera varianter av exemplet i (b). Montera en rad stroboskoplampor längs en rak linje och skicka en ljussignal längs linjen. Arrangera en mottagarkrets på varje lampa så att en ljuspuls skickas ut av lampan när ljussignalen tas emot men med en inbyggd fördröjning som minskar längs raden med lampor. Detta leder till en följd ljuspunkter som färdas snabbare än ljuset i sidled, men där ljuspunkterna från de olika stroboskoplamporna inte utgör ett enstaka fysikaliskt objekt. Denna sorts signal kan inte användas för att skicka meddelanden snabbare än \displaystyle c eftersom ljuspunkterna inte kan nå fram snabbare än den ursprungliga ljussignalen.
(d) Ännu en variant är följande. Svep en strålkastare över himlen med vinkelhastigheten \displaystyle 180^\circ per sekund så att ljusstrålen träffar månen. På månens yta som är på ungefär 400000 km avstånd blir ljuspunktens hastigheten i sidled större än \displaystyle c.

[fig8_stavar]

Sammanfattning:

• Den relativistiska rörelsemängden och energin är \displaystyle \begin{aligned}

p&=\gamma mv \\ E&=\gamma mc^2=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.\end{aligned}

• Viloenergin är \displaystyle E=mc^2, vilket visar att massa och viloenergi är samma sak upp till en konstant.
• Den kinetiska energin är \displaystyle T=(\gamma-1)mc^2.
• Masslösa partiklar rör sig med ljusets hastighet och har energi \displaystyle E=pc.
• Den relativistiska rörelseekvationen är \displaystyle F=dp/dt=d(\gamma mv)/dt.
• Klassiskt bevaras massa, rörelsemängd och energi. Relativistiskt bevaras rörelsemängd och energi. Massa behöver inte bevaras eftersom viloenergi kan omvandlas till andra energiformer.
• Det invarianta rumtidsintervallet i kvadrat är \displaystyle (\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2, den invarianta energi-rörelsemängden i kvadrat är \displaystyle E^2-p^2c^2=m^2c^4 och den invarianta egentiden är \displaystyle \Delta \tau=\Delta t/\gamma.