Relativitetsteori2018

Den andra klassiska paradoxen vi ska titta närmare på är den så kallade garageparadoxen[def:garageparadoxen], vilken uppkommer när vi studerar längdkontraktion och det faktum att denna på ett sätt som liknar tidsdilatationen är symmetrisk, det vill säga objekt som är i vila i inertialsystemet \displaystyle S blir längdkontraherade i \displaystyle S' och vice versa. Paradoxen formuleras på följande sätt: Antag att Bob kör sin nya bil med vilolängd \displaystyle \ell i en hastighet \displaystyle v relativt ett garage som också har vilolängden \displaystyle \ell, se figur [fig:garage]. Garaget befinner sig i vila i Alices vilosystem \displaystyle S och i detta system är Bobs bil längdkontraherad och har därmed längden \displaystyle \ell' = \ell/\gamma. Alice konstaterar därmed glatt att bilen kommer att få plats i garaget.

I Bobs inertialsystem \displaystyle S' ser situationen mer dyster ut, se den undre delen av figur [fig:garage]. Eftersom det i \displaystyle S' är garaget som rör sig med hastigheten \displaystyle -v är det där garaget som är längdkontraherat och har längden \displaystyle \ell' = \ell/\gamma, vilket betyder att bilen inte kommer att få plats! Hur kan bilen få plats i garaget i det ena inertialsystemet men inte i det andra? En beskrivning av förloppet i minkowskidiagram baserade på de båda inertialsystemen visas i figur [fig:garageminkowski].

För att kunna lösa garageparadoxen måste vi undersöka vad som menas med att bilen “får plats” i garaget. Innebörden av detta i \displaystyle S är att det finns en tidpunkt \displaystyle t = t_0 då hela bilen befinner sig inuti garaget. På samma sätt är definitionen i \displaystyle S' att det ska finnas en tidpunkt \displaystyle t' = t'_0 då hela bilen befinner sig inuti garaget. Precis här finner vi därför paradoxens upplösning. Vi har i de föregående delarna av kursen sett exempel på relativ samtidighet. Eftersom samtidighetslinjerna för \displaystyle S och \displaystyle S' inte är parallella är det därför inte nödvändigt att det finns en samtidighetslinje för \displaystyle S' där hela bilen får plats i garaget bara för att det existerar en samtidighetslinje för \displaystyle S där den gör det. Detta illustreras i figur [fig:garageminkowski2] där vi har ritat en samtidighetslinje för \displaystyle S i minkowskidiagrammet som baserats på \displaystyle S' för vilken hela bilen befinner sig i garaget.

Det bör noteras att inget fysikaliskt förlopp kommer att ske annorlunda i \displaystyle S jämfört med vad som händer i \displaystyle S'. Om vi låter garaget ha dörrar på fram- och baksidan och stänger dessa vid samma tidpunkt i \displaystyle S så kommer bilen i \displaystyle S att få plats vid denna tidpunkt. Öppnar vi dörrarna direkt efter passerar bilen utan problem. I \displaystyle S' kommer detta dock beskrivas på ett sådant sätt att dörren i slutet på garaget både stängdes och öppnades innan dörren i början av garaget stängdes. Därmed tilläts bilen passera trots att den är längre än garaget.

Sammanfattning:

• Tvillingparadoxen uppkommer då vi betänker att tidsdilatation är en symmetrisk effekt. Hur kan \displaystyle A uppfatta att tiden går långsammare för \displaystyle B samtidigt som \displaystyle B uppfattar att tiden går långsammare för \displaystyle A? Detta ställs på sin spets då en av observatörerna åker iväg och sedan återvänder. Det finns många olika sätt att lösa paradoxen, varav vi har diskuterat två:

  • Paradoxen upplöses genom att inse att relativ samtidighet innebär att situationen inte är symmetrisk. När den resande observatören \displaystyle B vänder byter denne inertialsystem och uppfattningen om vad som är samtida med vändningen är olika i dessa. Detta leder till att ett tidsgap lätt kan missas när situationen beskrivs utifrån \displaystyle Bs inertialsystem.

  • Genom att göra en analys av ljussignaler som skickas från \displaystyle A till \displaystyle B och vice versa kan vi säkerställa att hänsyn tas till observatörernas hela världslinjer mellan det att de separeras tills dess att de återförenas.

  Båda dessa lösningar ger samma resultat: att mindre tid passerar för \displaystyle B.

• Garageparadoxen handlar om symmetrin i längdkontraktion och om en bil med samma vilolängd som vilolängden för ett garage får plats i garaget. Paradoxens upplösning är att vad “får plats” betyder varierar mellan inertialsystemen på grund av relativ samtidighet.