Relativitetsteori2018

Vi ska göra om beräkningen ovan i det relativistiska fallet med ljussignaler med hastighet \displaystyle u=c och hastighet \displaystyle v\approx c mellan observatör och ljuskälla. Samma resonemang som ovan ger nu att
\displaystyle f=\frac{1}{1-v/c}\frac{1}{t_0}
där \displaystyle t_0 är tiden som passerar mellan de tidpunkter vid vilka generatorn skickar ut signaler. Skillnaden mot det klassiska fallet är att frekvensen i signalgeneratorns vilosystem är \displaystyle f_0=1/t'_0 = \gamma/t_0, där \displaystyle t'_0 är periodtiden i signalgeneratorns vilosystem, eftersom denna är tidsdilaterad relativt \displaystyle t_0. Vi erhåller därför
\displaystyle \frac{1}{t_0}=\sqrt{1-v^2/c^2}f_0.
Sammansättning av de två senaste ekvationerna ger
\displaystyle f= \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v/c} f_0.
Denna ekvation förenklas med hjälp av konjugatregeln (se matteappendixet) till

\displaystyle \label{ekv_doppler} \boxed{f = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} f_0}
i fallet då signalgeneratorn närmar sig observatören. Om signalgeneratorn i stället avlägsnar sig från observatören så ger samma argument med \displaystyle v\to -v att
\displaystyle \boxed{f = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} f_0.}

Dessa formler beskriver den relativistiska dopplereffekten. Motsvarande samband för våglängden \displaystyle \lambda=c/f blir

\displaystyle \begin{aligned} \label{ekv_dopplerlambda1} \lambda=&\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} \lambda_0 \\ \label{ekv_dopplerlambda2} \lambda=&\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} \lambda_0, \end{aligned}

där den övre (undre) ekvationen beskriver fallet då källan avlägsnar sig från (närmar sig) observatören. Dopplereffektens storlek anges ofta med parametern \displaystyle z=\lambda/\lambda_0-1 som anger den relativa dopplereffekten. Det bör här nämnas att våglängden, det vill säga avståndet mellan påföljande signalpulser, ändras i det relativistiska fallet, till skillnad från det klassiska där det är detsamma i alla inertialsystem på grund av absolut rum och absolut tid. I det relativistiska fallet måste våglängden ändras om frekvensen ändras då de relateras enligt \displaystyle c = \lambda f och \displaystyle c är en invariant.

Hur skiljer sig den relativistiska dopplereffekten från den klassiska? För att svara på detta ska vi visa att de relativistiska uttrycken övergår i de klassiska för små hastigheter som uppfyller \displaystyle v/c \ll 1. Då gäller approximationen (se matteappendixet)
\displaystyle f=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} f_0 \approx \frac{1}{1-v/c}f_0 ,
vilket överensstämmer med ekvation ([ekv_klassiskdoppler]) med signalhastighet \displaystyle u=c. Den klassiska dopplereffekten är alltså en giltig approximation vid små hastigheter, men när relativistiska effekter är viktiga behövs de relativistiska formlerna.

Den relativistiska dopplereffekten beskriver hur tiden mellan signaler uppfattas av en observatör i relativ rörelse i förhållande till ljuskällan.

[ex:rymdskeppsdoppler] Tid mellan signaler från ett rymdskepp
Alices rymdskepp rör sig med hastighet \displaystyle v/c=0.8 bort från Bob. Alice skickar en ljuspuls en gång per år som mottas av Bob. Hur lång tid går mellan varje ljuspuls som Bob tar emot? Frekvensen som Bob observerar är \displaystyle f=\sqrt{\frac{1-0.8}{1+0.8}} f_0=f_0/3 så Bob tar emot en ljuspuls vart tredje år. Om Alice i stället färdas mot Bob med \displaystyle v/c=0.8 så observerar Bob \displaystyle f=3f_0 och tar emot en signal var fjärde månad.

Dopplereffekten är viktig i astronomin eftersom den kan observeras experimentellt och är relaterad till hastigheten hos astronomiska objekt. Det observerade ljuset kan ha röd- eller blåförskjutning. Rödförskjutning fås om ljuskällans hastighet är riktad bort från mottagaren vilket ökar ljusets våglängd, det vill säga förskjuter våglängden mot den röda delen av ljusets spektrum. På motsvarande sätt fås blåförskjutning om ljuskällan närmar sig mottagaren.

Det bör nämnas att rödförskjutning även förekommer som ett av bevisen för universums expansion. På kosmologiska skalor i allmän relativitetsteori är det dock inte helt enkelt att definiera hur objekt rör sig relativt varandra och för en diskussion om kosmologisk rödförskjutning behövs en mer matematisk framläggning som också berör allmän relativitetsteori, vilket vi därför inte kommer att behandla i kursen.

De astronomiska tillämpningarna av dopplereffekt handlar om effekter av rörelsen hos objekt på mindre skala. Kosmologisk rödförskjutning är relevant på mycket stora skalor, medan relativistisk rödförskjutning är mer betydelsefull för observationer av rörelse på kortare avstånd exempelvis inom en lokal galaxgrupp. Ett viktigt resultat inom astronomin är att galaxer ofta har spiralform där strukturer som kallas armar genomgår en roterande rörelse kring galaxkärnan, liknande rörelsen i en vattenvirvel. Rörelsen hos spiralstrukturen kan observeras med doppereffekten hos ljus från olika delar av galaxen. I rotationsrörelsen rör sig delar av galaxarmarna bort från observatören på jorden och på motsatt sida om galaxkärnan rör sig armarna mot observatören. Detta ger alltså upphov till dopplereffekt med röd- eller blåförskjutning från olika delar av galaxen. Ljuset som ofta studeras i detta sammanhang kommer från väte och har våglängden 21 cm. Mätningar av detta slag visar att galaxer roterar betydligt snabbare än vad gravitationen från den synliga materien borde tillåta. Detta kan förklaras om galaxerna också innehåller en stor mängd mörk materia.

[ex:blaforskjutningandromeda] Blåförskjutning hos andromedagalaxen
Vår granne andromedagalaxen är på kollisionskurs med vintergatan. Ljus från andromeda har \displaystyle z=\lambda/\lambda_0-1=-0.00042, där minustecknet betyder att \displaystyle \lambda < \lambda_0 och därmed blåförskjutning. Ekvation ([ekv_dopplerlambda2]) ger hastigheten:

\displaystyle \begin{aligned}

   z+1 &=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}, \\
   x &=(z+1)^2=\frac{1-v/c}{1+v/c}, \\
   \frac{v}{c} &=\frac{1-x}{1+x}=0.00042 .\end{aligned}

Notera att detta motsvarar icke-relativistisk dopplereffekt eftersom \displaystyle v\ll c. Alltså närmar sig andromedagalaxen med hastigheten \displaystyle v=126 km/s. Avståndet till Andromeda är \displaystyle 2.54\cdot 10^6 ljusår och kollisionen väntas om \displaystyle 3.75\cdot 10^9 år. Rörelsen accelererar på grund av gravitationsattraktionen mellan galaxerna så formeln \displaystyle s=vt som gäller vid konstant hastighet fungerar inte här.