Relativitetsteori2018

Betrakta en händelse \displaystyle E, som vi kan anta ha tidskoordinaten \displaystyle t_E = 0 och rumskoordinaten \displaystyle x_E = 0. Vi har redan sett att vilka händelser som är samtidiga med \displaystyle E beror på vilket inertialsystem vi betraktar. Den mest bekanta definitionen av att en händelse \displaystyle A ligger i framtiden[def:klassiskframtid] till \displaystyle E är att tidskoordinaten för \displaystyle A är större än tidskoordinaten för \displaystyle E, det vill säga

\displaystyle t_A > t_E = 0.
På samma sätt skulle vi kunna säga att \displaystyle A ligger i dåtiden[def:klassiskdatid] till \displaystyle E om
\displaystyle t_A < t_E = 0.

På grund av den relativa samtidigheten blir denna definition beroende på vilket inertialsystem vi betraktar, se figur [fig:framdatid].

Då samtidighetslinjerna i systemen \displaystyle S och \displaystyle S' inte är parallella finns det en mängd händelser som i \displaystyle S ligger i framtiden till \displaystyle E men som i \displaystyle S' tillhör dåtiden till \displaystyle E.

Låt oss studera precis vilka händelser som berörs av denna tvetydighet. Om vi lorentztransformerar händelsen \displaystyle As koordinater till inertialsystemet \displaystyle S', som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S, erhålls
\displaystyle c t'_A = \gamma \left(c t_A - \frac{v}{c} x_A\right).
Om vi antar att \displaystyle t_A > 0 så att \displaystyle A ligger i \displaystyle Es framtid i \displaystyle S samt att \displaystyle v > 0 så fås villkoret
\displaystyle t'_A = t_A - \frac{vx_A}{c^2} > t_A - \frac{x_A}{c} \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad ct_A \geq x_A
för att \displaystyle A ska ligga i \displaystyle Es framtid också i \displaystyle S' då \displaystyle v är positivt. Är \displaystyle v i stället negativt erhålls \displaystyle ct_A \geq -x_A. Båda dessa villkor kan sammanfattas i villkoret
\displaystyle c^2 t_A^2 - x_A^2 \geq 0,
vilket tillsammans med \displaystyle t_A > 0 är kravet för att \displaystyle A ska ligga i framtiden till \displaystyle E i alla inertialsystem. På exakt samma sätt kan vi komma fram till att villkoret för att \displaystyle A alltid ska ligga i dåtiden till \displaystyle E är detsamma, fast med förändringen att \displaystyle t_A < 0 i stället för \displaystyle t_A > 0.

Vi kan även förstå dessa argument baserat på ett minkowskidiagram, se figur [fig:framdatidmod].

I det föregående kapitlet kom vi fram till att lutningen på en samtidighetslinje är \displaystyle v/c och därmed alltid kommer att vara mindre än ett. Om händelsen \displaystyle A ligger ovanför linjerna \displaystyle x = ct och \displaystyle x = -ct finns det därför ingen samtidighetslinje sådan att \displaystyle A ligger under den och därför inträffar \displaystyle A senare än \displaystyle E i alla inertialsystem. Det går även att argumentera i den andra riktningen. Om \displaystyle A ligger under någon av linjerna \displaystyle x = ct och \displaystyle x=-ct så existerar en samtidighetslinje för något inertialsystem som \displaystyle A ligger under och därmed inträffar \displaystyle A innan \displaystyle E i det systemet. Likaså existerar det alltid i detta fall ett inertialsystem där \displaystyle A och \displaystyle E inträffar samtidigt[def:samtid].

Två supernovor
Vi ska applicera kraven ovan för två specifika händelser för att se om det existerar något inertialsystem där de inträffar samtidigt. Antag att ljuset från två supernovor når jorden samtidigt och att dessa är belägna i diametralt motsatta riktningar på avstånden 50000 ljusår respektive 100000 ljusår. Efter att vi tagit hänsyn till ljusets ändliga hastighet kan vi därför komma fram till att den mer närbelägna supernovan skedde 50000 år efter den andra. Vi kan här kalla händelsen att den första supernovan exploderade för \displaystyle E och införa ett koordinatsystem sådant att \displaystyle x_E=0 och \displaystyle t_E=0 motsvarar platsen och tiden för supernovan som skett 100000 ljusår bort. Den andra supernovan kan då tilldelas händelsen \displaystyle A för vilken \displaystyle t = 50000 år och \displaystyle x = 150000 ljusår. Vi får därför att
\displaystyle c^2 t_A^2 - x_A^2 = (50000^2 - 150000^2)~\mbox{ljusår}^2 < 0
och därmed kommer det att existera ett inertialsystem för vilket supernova \displaystyle A inträffar innan supernova \displaystyle E. Speciellt gäller att
\displaystyle t'_A = \gamma\left(50000 - \frac{v}{c}150000\right)~\mbox{år} = 0
om \displaystyle v = c/3. I inertialsystemet som rör sig med \displaystyle v = c/3 i riktningen mot supernova \displaystyle A inträffar därför båda supernovorna samtidigt.