Relativitetsteori2018

Relativ samtidighet kommer nu att hjälpa oss att förstå de oväntade resultaten tidsdilatation och längdkontraktion som diskuterades i kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Problemet är följande. Båda inertialobservatörerna observerar att den andres klocka går sakta och måttstock längdkontraheras. Detta innebär skenbara motsägelser: om den ena klockan går långsammare eller måttstocken är kortare så borde den andra klockan gå fortare och måttstocken vara längre. För att visa att detta inte innebär en inkonsistens som ger en motsägelse när olika inertialobservatörer jämför sina observationer ska vi studera effekterna från båda observatörernas perspektiv och visa att de stämmer överens på grund av relativ samtidighet.

Samtidighet och tidsdilatation

Relativitetsteorins förutsägelse om tidsdilatationen, det vill säga att en rörlig klocka går sakta, innehåller ett skenbart konsistensproblem. Effekten är symmetrisk, så att från Alices inertialsystem observeras Bobs klocka gå sakta, men samma resonemang från Bobs inertialsystem visar att Alices klocka går sakta. För att undvika en motsägelse måste Alice och Bob vara överens om vad bådas klockor visar när de träffas och jämför. Vi ska nu visa att detta fungerar på grund av relativ samtidighet.

Slutsatsen av resonemanget nedan är följande: Alice och Bob uppfattar båda att den andres klocka går sakta, men detta är ingen motsägelse. De kommer att vara överens om vad bådas klockor visar när de träffas och jämför tider. Eftersom Bob rör sig relativt Alices vilosystem så innehåller en jämförelse av ett tidsintervall en jämförelse av tiden med klockor i Alices vilosystem som är på olika platser. Enligt Alice är klockorna synkroniserade, men inte enligt Bob på grund av relativ samtidighet. Därför kan båda observera att den andres klocka går sakta utan att det blir en motsägelse.

[fig_tidsdilatation]

Alice är i vila i inertialsystemet \displaystyle S och Bob är i vila i \displaystyle S' som har hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S. I \displaystyle S finns två synkroniserade klockor, 1 och 2, på avstånd \displaystyle \ell _0 från varandra, och i \displaystyle S' finns en klocka som synkroniseras med klocka 1 i \displaystyle S när dessa passerar varandra i \displaystyle x=x'=0 vid tiden \displaystyle t=t'=0, se figur [fig_tidsdilatation]. Från \displaystyle S ser Alice att Bobs klocka passerar 2 vid tiden \displaystyle t=\ell _0/v och Bobs klocka har då saktat ned och visar \displaystyle t'=t/\gamma=\ell _0/(\gamma v) på grund av tidsdilatation.

Vad observerar Bob hos Alices klockor? Bob observerar att avståndet mellan Alices klockor längdkontraheras till \displaystyle \ell =\ell _0/\gamma. När Bobs klocka passerar 2 visar Bobs klocka därför \displaystyle t'=\ell /v=\ell _0/(\gamma v). Alltså är Alice och Bob överens om vad Bobs klocka visar när den passerar 2. Men vad visar då klocka 2? Enligt exempel [ex3.1] observerar Bob att Alices klockor inte är synkroniserade och att vid tiden \displaystyle t=t'=0 går klocka 2 tiden \displaystyle \ell _0v/c^2 före klocka 1. Vid \displaystyle t'=\ell _0/(\gamma v) möts klockan i \displaystyle S' och klocka 2, och då har tiden \displaystyle t=\ell /(\gamma v) passerat i \displaystyle S. Klocka 2 visar då
\displaystyle t=\frac{\ell _0v}{c^2} + \frac{\ell }{\gamma v} =\frac{\ell _0v}{c^2} + \frac{\ell _0}{\gamma^2 v} =\frac{\ell _0}{v}.
Alltså observerar båda att den andras klockor går sakta, och båda är överens om att när klockorna möts visar de
\displaystyle t=\frac{\ell _0}{v},\quad t'=\frac{\ell _0}{\gamma v}.
Detta visar hur det går ihop att både Alice och Bob observerar att den andres klocka gå sakta. Det hänger på att i \displaystyle S är Alices klockor synkroniserade, men i Bobs vilosystem \displaystyle S' är de inte det. Slutsatsen är att symmetrin i tidsdilatationseffekten inte leder till motsägelser på grund av relativ samtidighet.

Samtidighet och längdkontraktion

Både Alice och Bob observerar längdkontraktion hos den andres måttstock. Hur kan de vara överens så att en motsägelse undviks? Lösningen ges igen av relativ samtidighet. Längden hos en stav bestäms i ett visst inertialsystem genom en samtidig avläsning av koordinaterna för intervallets ändpunkter. I andra inertialsystem sker en samtidig avläsning av koordinater vid andra tider eftersom klockorna inte är synkroniserade, och det är stavens rörelse mellan dessa tider som kontraherar längden.

[fig_langdkontraktion]

För att reda ut denna observation i detalj behövs alla effekter som diskuterats hittills. Alice har en stav med vilolängd \displaystyle \ell _0 och färdas med konstant hastighet \displaystyle v i förhållande till Bob. Alice mäter stavens längd till \displaystyle \ell _0 och mätningen sker genom en samtidig bestämning av positionen hos ändpunkterna. Bob mäter längden hos Alices stav och får \displaystyle \ell '=\ell _0/\gamma, se figur [fig_langdkontraktion] (a).

Vi ska nu demonstrera att Bobs längdmätning stämmer med observationerna i Alices vilosystem. Antag att Bob har en stav med vilolängden \displaystyle \ell '. Vid \displaystyle t=t'=0 sammanfaller vänstra ändpunkterna hos Alice och Bobs stavar med varandra. Vid denna tid observerar Alice att klockan vid Bobs stavs högra ändpunkt visar \displaystyle t'=-\ell 'v/c^2 enligt formeln för relativ samtidighet, se figur [fig_langdkontraktion] (b). Bob gör sin längdmätning vid tiden \displaystyle t'=0 då stavarnas högra ändpunkter sammanfaller, och för klockan i stavens högra ändpunkt har då tidsintervallet \displaystyle \ell 'v/c^2 passerat, se figur [fig_langdkontraktion] (c). I Alices vilosystem dilateras detta tidsintervall till \displaystyle \gamma \ell 'v/c^2, och längden hos Bobs stav kontraheras till \displaystyle \ell '/\gamma. För att Alices mätning ska stämma med Bobs behöver sträckan \displaystyle v\Delta t = \gamma \ell 'v^2/c^2 som Bobs stav färdas för att stavarnas högra ändpunkter ska sammanfalla plus den kontraherade längden hos Bobs stav \displaystyle \ell '/\gamma ge vilolängden hos Alices stav enligt figur [fig_langdkontraktion] (c). Vi kontrollerar att detta stämmer:
\displaystyle v\Delta t + \ell '/\gamma =\ell _0(v^2/c^2+1/\gamma^2) =\ell _0(v^2/c^2+1-v^2/c^2) = \ell _0.
Alltså är Alice och Bob överens om vad den andres längdmätning ger. Det enda de inte är överens om är vems klockor som är synkroniserade, men det är precis som det ska enligt relativ samtidighet.

Vi har nu visat att tidsdilatation och längdkontraktion kan förstås med hjälp av begreppet relativ samtidighet. Tidsintervall och längdintervall är olika långa när de observeras i rörelse eftersom intervallens ändar observeras vid olika tider än i vilosystemen. Detta leder till frågan om de relativistiska effekterna är verkliga eller bara betyder att den rörliga stavens verkar kortare eftersom ändpunkternas positioner rört sig olika långt på grund av att de observeras vid olika tider. Svaret är ja på båda påståendena. De relativistiska effekterna uppstår på grund av att samtidighet är relativ, men de anger verkligen de längd- och tidsintervall som observatörer i relativ rörelse observerar.

Alice och Bob och längdkontraktion av en glasstav
Alice har en glasstav som i sitt vilosystem \displaystyle S har längden \displaystyle \ell _0. Bob har hastigheten \displaystyle v relativt staven och observerar att den längdkontraheras till \displaystyle \ell '=\ell _0/\gamma. Men en glasstav som komprimeras går sönder. Vad händer? Svaret är att glasstaven inte krossas. Det är bara om staven kontraheras i sitt vilosystem genom påverkan av kompressionskrafter som den krossas. När Bob observerar avståndet mellan stavens ändpunkter vid en tidpunkt, till exempel \displaystyle t'=0, i sitt vilosystem så är staven kontraherad, men i stavens vilosystem är detta olika tidpunkter för stavens ändpunkter. Längdkontraktion kommer inte från kompressionskrafter utan uppstår genom att en samtidig observation av stavens ändpunkter från relativ rörelse motsvarar observation av ändpunkterna vid olika tider i stavens vilosystem.

Sammanfattning:

• Relativ samtidighet innebär att händelser som är samtidiga i ett inertialsystem inte är samtidiga i inertialsystem som rör sig längs linjen mellan händelserna.
• Klockor som synkroniseras i ett inertialsystem är osynkroniserade i andra inertialsystem.
• Tidsdilatationens och längdkontraktionens symmetri, det vill säga att inertialobservatörer i relativ rörelse observerar att rörliga klockor går sakta och måttstockar kontraheras, beror på att intervallen bestäms vid olika tider i olika inertialsystem på grund av relativ samtidighet.