Relativitetsteori2018

Samtidighet och synkronisering av klockor är intimt förknippade. Att avgöra om två händelser är samtidiga går till på följande sätt. Enligt diskussionen i kapitel 1 tänker vi oss ett inertialsystem som ett system av identiska måttstockar som ligger efter varandra och anger koordinater för varje punkt i rummet. I varje punkt finns identiska klockor som ger en tidskoordinat. På detta sätt kan alla händelser med koordinaterna \displaystyle t och \displaystyle x registreras. Två händelser definieras som samtidiga i ett inertialsystem om de har samma värde på sin tidskoordinat hos de synkroniserade klockorna i det systemet.

Notera att samtidighet inte är det som visas på ett fotografi eftersom ljushastigheten är ändlig och ljuset tar olika lång tid att nå kameran beroende på avståndet till objektet som fotograferas. Vid en samtidig observation av händelser i ett inertialsystem måste en bestämning av positionen göras samtidigt av inertialobservatörer på plats för händelserna. En samtidig observation på jorden och en av stjärnorna i Alfa Centauri-systemet kan inte göras från jorden eftersom ljuset tar ungefär fyra år att komma till jorden. Det behövs observatörer med synkroniserade klockor på jorden och på Alfa Centauri som utför observationer vid en given tidpunkt.

I ett inertialsystem behöver klockorna vara synkroniserade för att visa samma tid i hela inertialsystemet. Synkroniseringen kan göras på följande sätt. Från punkten mitt mellan två klockor skickas en ljusblixt ut och när klockorna registrerar ljusblixten så ställs de på samma tid. På detta sätt kan alla par av klockor i ett givet inertialsystem synkroniseras och genom upprepning kan alla klockor i inertialsystemet synkroniseras. Genom att registrera tidskoordinaterna för två händelser kan man avgöra om de sker samtidigt i ett givet inertialsystem. Vi ska nu analysera synkronisering av klockor sett från olika inertialsystem.

[ex3_2] Alice och Bob synkroniserar klockor
(a) Bob synkroniserar två klockor som är i vila i hans inertialsystem. Bob använder en ljussignal som skickas ut mitt mellan klockorna vid tiden \displaystyle t'=0, se figur [fig_samtidighet] (a). Om klockornas viloavstånd är \displaystyle \ell _0 så nås de i vilosystemet av ljussignalen vid tiden \displaystyle t'=\ell _0/(2c). Alice, Bob och alla andra inertiala observatörer är överens om att Bobs klockor båda visar denna tid när ljusblixten träffar klockorna. I Bobs vilosystem är därmed klockorna synkroniserade.
(b) Bobs vilosystem rör sig relativt Alice med hastighet \displaystyle v längs linjen mellan klockorna, se figur [fig_samtidighet] (b). Alice observerar att klocka 1 rör sig mot ljuskällan och 2 rör sig bort från ljuskällan, så att ljuset måste färdas olika långa sträckor och tar därför olika lång tid att nå Bobs klockor i Alices vilosystem. Alice observerar att Bobs klockor båda visar \displaystyle t'=\ell _0/(2c) när ljuset träffar, men klockorna träffas av ljuset vid olika tider i Alices vilosystem. Alices slutsats är därför att Bobs klockor är osynkroniserade.
(c) I figur [fig_samtidighet] (c) rör sig klockorna relativt Alice i riktning vinkelrätt mot linjen mellan klockorna. Då når ljuspulsen klockorna samtidigt och Alice observerar att klockorna är synkroniserade.

[fig_samtidighet]

Exemplet visar att klockor som är synkroniserade i sitt vilosystem är osynkroniserade i inertialsystem som rör sig längs linjen mellan klockorna, men synkroniserade för rörelse vinkelrätt mot denna linje. Relativitetsteorin kan leda till skenbara paradoxer där olika inertiala observatörer inte verkar vara överens om vad som händer. Flera paradoxer kommer att analyseras under kursen och deras upplösning beror på analys av händelserna från de olika observatörernas perspektiv och relativ samtidighet.

Alice och bomb
Alice har en bomb i vila i ett inertialsystem \displaystyle S. Bob är i vila i \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S. Bomben kopplas till en anordning som utlöser explosionen om två händelser sker samtidigt. Om Alice observerar att händelserna sker samtidigt, men Bob observerar att de inte sker samtidigt, sprängs då bomben? I detta exempel behöver vi vara noggranna med förutsättningarna. Låt oss anta att bomben är kopplad till Alices synkroniserade klockor. Bomben smäller om tidskoordinaterna för två händelser i Alices vilosystem sammanfaller, \displaystyle t_1=t_2. På grund av relativ samtidighet kan Bob observera att samma händelser sker vid olika tider, \displaystyle t_1'\ne t_2', men han avläser samma tid som Alice på hennes klockor. Alice och Bob är därför överens om att händelserna sker vid samma tid enligt klockorna i Alices vilosystem. Det är därför ingen paradox att bomben exploderar. Bob konstaterar dock att Alices klockor är osynkroniserade, och det är därför bomben sprängs trots att Bob observerar att händelserna inte är samtidiga. Om utlösningsmekanismen i stället är kopplad till Bobs klockor så kan händelser som är samtidiga i Alices vilosystem ske vid olika tid i Bobs vilosystem, varpå både Alice och Bob är överens om att bomben smäller om händelserna sker vid samma tid enligt klockorna i Bobs vilosystem.

Korrektion för signalfördröjning [sec:korrektionsignal]

Låt oss bestämma vilken tidsskillnad Alice observerar mellan Bobs klockor i exempel [ex3_2]. Tiderna \displaystyle t_1 och \displaystyle t_2 för att träffa klockorna ges av

\displaystyle \begin{aligned} \ell /2-vt_1=ct_1 \quad &\Longrightarrow \quad t_1=\frac{\ell /2}{c+v}, \\ \ell /2+vt_2=ct_2 \quad &\Longrightarrow \quad t_2=\frac{\ell /2}{c-v}.\end{aligned}

Eftersom dessa tider är olika och Alice ser Bobs klockor båda visa samma tid \displaystyle t' när ljusblixten träffar så drar hon slutsatsen att Bobs klockor inte är synkroniserade. Tidsskillnaden som Alice observerar i sitt vilosystem \displaystyle S ges av
\displaystyle \Delta t=t_2-t_1=\frac{\ell /2}{c-v} - \frac{\ell /2}{c+v} = \frac{\ell v/c^2}{1-v^2/c^2}=\gamma^2\ell v/c^2.
Vilken tidsskillnad motsvarar detta i klockornas vilosystem \displaystyle S'? Tidsintervallet genomgår tidsdilatation så att \displaystyle \Delta t=\gamma \Delta t', och avståndet mellan klockorna genomgår längdkontraktion så att \displaystyle \ell =\ell _0/\gamma. Alice observerar därför att Bobs klockor inte är synkroniserade så att den främre klockan går efter med tiden
\displaystyle \Delta t'=\ell _0v/c^2.
Dessa resonemang visar att klockor som är synkroniserade i sitt vilosystem inte är synkroniserade i något annat inertialsystem i rörelse längs linjen mellan klockorna. Händelser som sker samtidigt i ett inertialsystem sker därför inte samtidigt i något annat inertialsystem i relativ rörelse längs händelsernas separationslinje.