Relativitetsteori2018

Vi har nu sammanfattat delar av bakgrunden till relativitetsteorin och ska nu diskutera några direkta konsekvenser av Einsteins postulat. Kommande kapitel ägnas åt en mer detaljerad och fullständig behandling. Vi ska se hur relativitetsteorin gör spektakulära förutsägelser som ändrar synen på grundläggande begrepp som tid och rum, men även är avgörande för flera viktiga tekniska tillämpningar.

Brott mot galileiinvarians

Galileitransformationen är en viktig grund för klassisk mekanik och diskuterades i kapitel [[#ch:klassiskmekanik|]]. Där visades att galileitransformationen direkt leder till den klassiska hastighetsadditionsformeln. Men exempel 2.1 visar att postulatet om ljushastighetens invarians leder till brott mot klassisk hastighetsaddition och därmed mot galileitransformationen. Slutsatsen är att galileitransformationen behöver modifieras och därmed faller en hörnsten i den klassiska fysiken. Relativitetsteorins koordinattransformation, lorentztransformationen gås igenom i kapitel  [[#ch:lorentztransformationer|]].

Tidsdilatation [sec:tidsdilatation]

I klassisk fysik antas postulatet om absolut tid som säger att \displaystyle t'=t i galileitransformationen. I relativitetsteorin gäller inte längre detta postulat. Tidsdilatation är en av de märkvärdigaste konsekvenserna av relativitetsteorin. Den säger att tiden går olika fort beroende på i vilket inertialsystem man befinner sig: tiden är relativ.

Det behövs nu en teknisk definition av begreppet tid. Tid definieras som det man mäter med en klocka. En klocka är en anordning som genomgår en periodisk rörelse, och vilken sådan anordning som helst duger. För våra behov kommer vi att använda en enkel modell av en klocka som är bekväm att analysera. Vi tänker oss en anordning med ljusstrålar och speglar som vi kallar en ljusklocka. En ljuspuls reflekteras periodiskt mellan två parallella speglar på avstånd \displaystyle \ell från varandra, se figur [fig2_tidsdilatation]. Vid den ena spegeln finns en ljusdetektor som registrerar ett tidssteg varje gång ljuspulsen reflekteras. Tidsstegen kan tänkas motsvara att klockan tickar.

Alice är i vila relativt klockans vilosystem \displaystyle S' och skickar ut en ljuspuls från den undre spegeln som riktas i \displaystyle y-riktningen mot den övre spegeln, se figur [fig2_tidsdilatation] (a). Periodtiden \displaystyle \Delta t' i klockans vilosystem kallas egentiden och skrivs \displaystyle \Delta t_0. Sträckan som ljuset färdas under en period är \displaystyle 2\ell =c\Delta t_0, där \displaystyle \Delta t_0=2\ell /c är periodtiden.

[fig2_tidsdilatation]

Sett från Bobs inertialsystem \displaystyle S färdas klockan med hastighet \displaystyle v, se figur [fig2_tidsdilatation] (b). Klockans speglar är ortogonala mot \displaystyle y-riktningen och hastigheten är i \displaystyle x-riktningen. Vid tiden \displaystyle \Delta t har ljuspulsen färdats en gång fram och tillbaka mellan speglarna. Eftersom klockan då flyttats sträckan \displaystyle v\Delta t så befinner sig ljuspulsen vid positionen \displaystyle x=v\Delta t. Bob finner med hjälp av Pythagoras sats för triangeln som markeras i figuren att sträckan som ljusstrålen färdas från undre till övre spegeln uppfyller \displaystyle (c \Delta t/2)^2=(v \Delta t/2)^2+\ell ^2. Med Alices resultat \displaystyle \ell =c\Delta t_0/2 erhålls \displaystyle (c \Delta t/2)^2=(v\Delta t/2)^2+(c \Delta t_0/2)^2, vilket ger
\displaystyle \Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.
Vi inför nu lorentzfaktorn \displaystyle \gamma som kommer att vara viktig genom hela kursen:
\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.
Lorentzfaktorn är \displaystyle \gamma > 1 om \displaystyle 0, vilket ger slutresultatet för tidsdilatationen:
\displaystyle \boxed{\Delta t=\gamma \Delta t_0 > \Delta t_0 .}
Alltså är \displaystyle \Delta t > \Delta t_0 och Bob observerar att Alices klocka gå sakta. Hur snabbt tiden går beror på den relativa rörelsen.

Tidsdilatationen är drastiskt annorlunda än den klassiska fysikens postulat om absolut tid, enligt vilken Alice, Bob och alla inertiala observatörer antar samma periodtid hos klockan: \displaystyle \Delta t'=\Delta t, men olika ljushastigheter. Detta inses av att galileitransformationen ger ljushastighetens kvadrat i Bobs system till \displaystyle c^2+v^2, vilket i räkningen ovan ger \displaystyle (c^2+v^2) \Delta t^2=v^2 \Delta t^2+c^2 \Delta t'^2 och \displaystyle \Delta t'=\Delta t.

Alice och Bob studerar tidsdilatation
(a) Antag att egentiden är \displaystyle \Delta t_0=1 s. Om \displaystyle v=0.01c så blir \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-0.01^2}\approx1.00005 och Bob ser att Alices klocka tar \displaystyle 1.00005 s mellan tickningarna. Vid små relativa hastigheter är tidsdilatationen försumbar.
(b) Om \displaystyle v=0.99c så blir \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-0.99^2}=7.1 och Bob ser att Alices klocka tar 7.1 s mellan tickningarna. Det vill säga, Bob ser Alices klocka gå sakta. Tidsdilatationseffekten är stor vid hastigheter nära \displaystyle c.
(c) Vad observerar Alice hos Bobs klocka? Svaret är precis samma tidsdilatation eftersom båda inertialsystemen är likvärdiga enligt relativitetsprincipen. Alice observerar att det är Bobs klocka som går sakta och tar 7.1 s mellan tickningarna i fallet (b). Hur kan båda observera att den andres klocka går sakta? Denna paradoxala situation ska redas ut i kommande kapitel.

Exemplet illustrerar varför tidsdilatationen inte stämmer med vardaglig erfarenhet av hur klockor beter sig. Effekten är stor bara vid hastigheter nära ljushastigheten. För små hastigheter är \displaystyle \Delta t \approx \Delta t' och endast vid hastigheter nära ljushastigheten fås stora avvikelser. Detta förklarar även att på Newtons tid då atomklockor inte fanns kunde avvikelser från absolut tid inte detekteras.

En annan viktig observation är att hastigheten \displaystyle v i lorentzfaktorn inte kan vara större än ljushastigheten eftersom \displaystyle \gamma då blir imaginärt.<ref>Ett imaginärt tal är roten ur ett negativt tal och kan inte ange värdet på en fysikaliskt mätbar storhet som måste vara ett reellt tal.</ref> Relativitetsteorin har alltså ljushastigheten inbyggd som en universell hastighetsgräns. Vi kommer ha mer att säga om denna aspekt i senare kapitel. Observera även att om den invarianta ljushastigheten hade varit oändlig, \displaystyle c=\infty, så skulle \displaystyle \gamma=1 och \displaystyle \Delta t=\Delta t', så att världen skulle vara icke-relativistisk.

Relativitetsteorins förutsägelse om tidsdilatationseffekten bekräftas av många olika experiment som demonstrerar att principen om absolut tid måste överges. Vi tar upp några exempel. Hafele och Keating utförde experiment med atomklockor på flygplan som bekräftar tidsdilatationen. Dessa experiment ska diskuteras mer ingående i kapitel [[#ch:paradoxer|]].

Tidsdilatation kan även observeras genom mätningar av myoners livstid. Myoner är instabila partiklar som sönderfaller i sitt vilosystem efter egentiden 2.197 s. I atmosfären skapar kollisioner med kosmisk strålning snabba myoner som färdas med ca 98% av ljushastigheten. Livstiden hos dessa snabba myoner observeras till ungefär 5 gånger livstiden i vila, vilket stämmer bra med lorentzfaktorn \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-0.98^2}=5.0. Liknande men mycket noggrannare mätningar av myonens livstid vid höga relativistiska hastigheter har gjorts vid CERN som i detalj bekräftar tidsdilatationen.

GPS (Global Positioning System) är ett ständigt pågående experiment i relativitetsteori som dagligen används av miljontals människor. GPS används vid navigation för att bestämma position, höjd och hastighet. Systemet baseras på 24 satelliter som kretsar kring jorden. Varje satellit är utrustad med atomklockor. GPS-mottagare använder radiosignaler från de satelliter som för tillfället är närmast för att bestämma tid och position. Positionen beräknas i GPS-mottagaren genom att jämföra tiden för signaler från minst tre satelliter att nå mottagaren. Satelliterna rör sig relativt jordytan med hastigheten \displaystyle v=14000 km/h i banor med omloppstid på ungefär 12 timmar. Tidsdilatationen saktar ner klockorna med en faktor \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}=1.00000000008 relativt klockor på jorden. På ett dygn ger det ett tidsfel på 7 \displaystyle \mus.<ref>Vidare finns en effekt inom allmän relativitetsteori som säger att en klocka i ett starkt gravitationsfält går långsammare än en klocka i ett svagt gravitationsfält. Vid 20000 km ovanför jordytan ger det ett fel på 45 \displaystyle \mus per dygn. Nettoeffekten av båda dessa effekter är att klockorna i GPS satelliterna går 45-7=38 \displaystyle \mus snabbare per dygn än klockor på jorden.</ref> Denna noggrannhet är helt otillräcklig för GPS systemet. En positionsbestämning med 5 m noggrannhet kräver en tidsbestämning med 16 ns noggrannhet, eftersom 5 m är den sträcka radiosignaler som färdas med ljusets hastighet tillryggalägger på 16 ns. Utan korrigering skulle navigationsfelen ackumuleras till över 10 km per dygn och den önskade noggrannheten skulle förloras efter 2 minuter. Atomklockorna i GPS-satelliterna och elektroniken i mottagarna kompenserar för de relativistiska effekterna. Utan denna kompensation skulle GPS vara oanvändbart. Relativitetsteori är essentiellt för att det globala navigeringssystemet ska fungera.

Längdkontraktion [sec:langdkontraktion]

I förra avsnittet såg vi att den klassiska fysikens antagande om absolut tid överges i relativitetsteorin. Nu ska vi göra samma sak med det klassiska antagandet om ett absolut rum, som säger att längden av en måttstock är oberoende av observatörens rörelse. Detta är inbyggt i galileitransformationens relation \displaystyle x'=x-vt: stavens längd i vilosystemet är \displaystyle l_0=x_1'-x_2'=(x_1-vt)-(x_2-vt)=x_1-x_2=l, vilket är längden i rörelse.

I relativitetsteorin ska vi nu se att måttstockens längd beror på observatörens rörelsetillstånd. För att härleda denna effekt roterar vi ljusklockan så att den riktas i \displaystyle x-riktningen. Se figur [fig2_langdkontraktion] (a). Klockan fungerar på precis samma sätt som i diskussionen om tidsdilatation i avsnitt [sec:tidsdilatation]: fysikens lagar och därmed klockans periodtid är oberoende av inertialsystem, och därför av experimentets orientering i rummet. I klockans vilosystem \displaystyle S' sker följande. Avståndet mellan speglarna i vilosystemet är egenlängden \displaystyle \ell_0. Vid \displaystyle t'=0 skickar Alice ut en ljuspuls från den vänstra spegeln, vid \displaystyle \Delta t'/2 reflekteras ljuset mot den högra spegeln och vid tiden \displaystyle \Delta t'=\Delta t_0 återvänder ljuset till den vänstra spegeln. Ljuset färdas sträckan \displaystyle 2\ell_0 =c\Delta t_0.

[fig2_langdkontraktion]

Relativt Bobs inertialsystem \displaystyle S färdas klockan med hastigheten \displaystyle v i ljusstrålens riktning, se figur [fig2_langdkontraktion] (b). I Bobs system är klockans längd \displaystyle \ell. Vid tiden \displaystyle t=0 skickas ljuspulsen ut från den vänstra spegeln och efter tiden \displaystyle \Delta t_1 når pulsen den andra spegeln efter att ha färdats sträckan
\displaystyle c\Delta t_1=\ell +v\Delta t_1 \Rightarrow \Delta t_1=\frac{\ell }{c-v}.
Pulsen reflekteras i den högra spegeln och når den vänstra spegeln efter ett ytterligare tidsintervall \displaystyle \Delta t_2. På tillbakavägen är sträckan
\displaystyle c\Delta t_2=\ell -v\Delta t_2 \Rightarrow \Delta t_2=\frac{\ell }{c+v}.
Periodtiden blir därför
\displaystyle \Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2 =\frac{\ell }{c-v}+\frac{\ell }{c+v} =\frac{2\ell /c}{1-v^2/c^2} =\frac{\gamma^2 2\ell }{c}.
Enligt tidsdilatationsformeln \displaystyle \Delta t=\gamma\Delta t_0=\gamma 2\ell_0 /c blir därför
\displaystyle \boxed{\ell =\frac{\ell_0 }{\gamma}<\ell_0 .}
Bob observerar alltså att klockans längd är mindre än i vilosystemet. Detta kallas längdkontraktion: längden av ett rumsintervall beror på observatörens rörelse i intervallets längdriktning.

Alice, Bob och längdkontraktion
(a) Alice håller i en stav som är \displaystyle \ell_0 =1 m lång i sitt vilosystem \displaystyle S'. I Bobs vilosystem \displaystyle S färdas staven i längdriktningen med hastigheten \displaystyle v. Om \displaystyle v=0.01c observerar Bob att stavens längd är \displaystyle \ell =\ell_0 /\gamma=\sqrt{1-0.01^2}\ell \approx 0.99995 m. Om \displaystyle v=0.99c observerar Bob att stavens längd är \displaystyle \ell =\ell_0 /\gamma=\sqrt{1-0.99^2}\ell \approx 0.14 m. Effekten är symmetrisk. Alice observerar att en stav som Bob håller i förkortas med samma faktor.
(b) Vinkelrätt mot rörelseriktningen fås ingen längdkontraktion vilket inses av följande argument. Alice och Bob vinklar sina stavar med 90 grader och håller en penna vid stavarnas övre ände som ritar ett streck på den andres stav när de passerar förbi. Antag först att Bobs stav kontraheras sett från Alices system. Då missar Alices penna Bobs stav, men Bobs penna ritar ett streck på Alices stav när de passerar. En liknande effekt inträffar i Bobs system, men nu kontraheras Alices stav och det är i stället Bobs stav som får ett streck. Men enligt relativitetsprincipen är Alices och Bobs system ekvivalenta och därför kan stavarna inte markeras olika sett från de olika systemen. Därför kan varken längdkontraktion eller längdexpansion ske vinkelrätt mot den relativa rörelsen.

Man kan fråga sig hur längdkontraktionen uppstår. Varför förkortas staven sett från ett rörligt system? Inga krafter som komprimerar staven verkar, så hur kommer det sig att den deformeras? Dessutom, vad händer om materialet i staven är skört och går sönder vid kompression? I vilosystemet sker ingen kompression, men i andra system komprimeras staven. Håller staven? Svaret på dessa frågor kommer i senare kapitel när vi studerar begreppet samtidighet, som är ett nyckelkoncept i relativitetsteorin. Det kommer fler exempel på relativistiska deformationer av fasta kroppar under kursen.

Direkta experimentella test av relativistisk längdkontraktion är inte tillgängligt eftersom det är svårt att studera måttstockar som färdas nära ljusets hastighet. Övertygande indirekta test ges dock återigen av de atmosfäriska myonerna. Avståndet till jorden längdkontraheras i myonernas vilosystem så att de hinner fram trots att deras räckvidd är för kort i jordens vilosystem.

[fig2_elektriskledare]

Relativitet hos elektriska och magnetiska krafter
Vi ska avsluta med ett exempel om längdkontraktion som visar att relativitetsteorin länkar samman elektriska och magnetiska krafter till ett gemensamt fenomen som kallas elektromagnetism. Studera en partikel med laddning \displaystyle q som rör sig utanför en strömförande metallisk ledningstråd från olika inertialsystem \displaystyle S och \displaystyle S'. Se figur [fig2_elektriskledare]. I \displaystyle S är ledaren i vila och laddningen rör sig med hastigheten \displaystyle v parallellt med ledaren. I \displaystyle S' är laddningen i vila och ledaren har hastighet \displaystyle v i negativ riktning. Vi antar för enkelhets skull att partikelns hastighet \displaystyle v är samma som hastigheten hos ledningselektronerna som utgör den elektriska strömmen i ledaren. Elektronerna är negativt laddade och markeras schematiskt i figuren som grå cirklar. Ledaren är elektriskt neutral och den positivt laddade bakgrundsladdningen som är i vila i \displaystyle S markeras som röda cirklar. Ledningselektronernas hastighet i metallen kallas fermihastigheten och är typiskt \displaystyle 1\% av ljushastigheten. Som vi ska se är relativitetsteori viktigt här trots att \displaystyle \gamma=1.00005 är nästan ett. Strömmen i ledaren genererar ett magnetfält \displaystyle B utanför ledaren, som i sin tur ger en magnetisk kraft \displaystyle F=qvB på laddningen i rät vinkel mot ledaren. Den magnetiska kraften är alltså proportionell mot hastigheten \displaystyle v hos partikeln. Eftersom ledaren är elektriskt neutral finns ingen elektrisk kraft på partikeln i \displaystyle S. Nu ska vi studera problemet från inertialsystemet \displaystyle S' där partikeln är i vila och ledaren rör sig. Den positiva laddningen som rör sig med ledaren kommer fortfarande att ge upphov till ett magnetfält, men det kommer inte att finnas någon magnetisk kraft eftersom laddningen är i vila i \displaystyle S. Men båda inertialsystemen är ekvivalenta så vad orsakar kraften på partikeln i \displaystyle S'? Lösningen följer av längdkontraktion. I \displaystyle S' kommer medelavståndet mellan positiva laddningar i den framrusande ledaren att längdkontraheras vilket ökar den positiva laddningen per längdenhet jämfört med \displaystyle S. För de negativa laddningarna verkar längdkontraktionen i motsatt riktning eftersom de är i vila i \displaystyle S' och deras inbördes avstånd längdkontraheras i \displaystyle S. Den negativa laddningen per längdenhet minskar därför i \displaystyle S' jämfört med i \displaystyle S. Resultatet är att i \displaystyle S' är ledaren positivt laddad, vilket ger upphov till ett elektriskt fält \displaystyle E som attraherar laddningen mot ledaren om \displaystyle q<0 och repellerar om \displaystyle q>0. Detta visar att uppdelningen i magnetisk och elektrisk kraft beror på val av inertialsystem. Med andra val av inertialsystem fås en annan uppdelning i elektriskt och magnetiskt fält.

Sammanfattning:

• Speciella relativitetsteorins postulat är:
  

1. Relativitetsprincipen: fysikens lagar är invarianta i alla inertialsystem.
2. Ljushastigheten \displaystyle c är invariant i alla inertialsystem.

• Relativistisk tidsdilatation och längdkontraktion visar att tids- och rumsintervall beror på observatörens relativa hastighet vilket reviderar den klassiska fysikens antagande om absolut tid och rum.
• Tidsdilatation säger att ett tidsintervall uppmätt av en klocka i rörelse med hastighet \displaystyle v är \displaystyle \Delta t=\Delta t_0/\sqrt{1-v^2/c^2}

   =\gamma \Delta t_0 där egentiden \displaystyle \Delta t_0 är tidsintervallet hos klockan i vila.

• Längdkontraktion: längden hos en stav i rörelse med hastighet \displaystyle v är \displaystyle \ell =\ell _0\sqrt{1-v^2/c^2}=\ell _0/\gamma där egenlängden \displaystyle \ell _0 är längden hos staven i vila.
• Lorentzfaktorn \displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, där \displaystyle v är en relativ hastighet, förekommer både i uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion. Den kommer ofta att förekomma i relativistiska samband.