Relativitetsteori2018

Ett viktigt begrepp inom fysiken är så kallade invarianter[def:invariant]. En invariant är en storhet som antar samma värde oberoende av vilket inertialsystem som används för att beskriva den och vi kommer i kursen att genomgående använda oss av olika invarianter. Vi har redan nu sett flera exempel på invarianter inom klassisk mekanik.

Invarianter i klassisk mekanik
I klassisk mekanik där vi har antaganden om absolut tid och absolut rum är tidsskillnaden mellan två händelser en invariant. Om den ena händelsen inträffar en tid \displaystyle t_0 efter den andra i ett inertialsystem så gör den det i alla inertialsystem. Likaså är längden av ett objekt, det vill säga skillnaden i rumskoordinaterna för dess ändar vid en given tid, en invariant i klassisk mekanik. Vi har även sett att accelerationen \displaystyle a = d^2 x/dt^2 för ett objekt är densamma i alla inertialsystem och därmed en invariant.

Icke invarianta storheter
Det är också viktigt att förstå vilka storheter som inte är invarianter. Till exempel ges rörelseenergin för ett objekt i klassisk mekanik av \displaystyle E_k = mv^2/2, där \displaystyle m är objektets massa och \displaystyle v dess hastighet. I objektets vilosystem är rörelseenergin därför noll, men i ett system där objektet rör sig är den nollskild. Exempel på andra storheter som inte är invarianta i klassisk mekanik är hastighet och rörelsemängd.

Vi har redan implicit använt oss av att tiden \displaystyle t och avståndet \displaystyle \ell mellan två objekt är invariant när vi härledde galileitransformationen. Detta är grundläggande antaganden inom klassisk mekanik som kommer att utmanas och revideras i kommande kapitel. Redan i nästa kapitel kommer vi att, precis som Einstein gjorde, utgå från att ljusets hastighet i vakuum ska vara en invariant och se hur detta kullkastar antagandena om att tid och avstånd är det.

Sammanfattning:

• Klassisk mekanik och speciell relativitetsteori handlar om hur verkligheten beskrivs utifrån inertialsystem.
• Vare sig i klassisk mekanik eller i speciell relativitetsteori förekommer någon absolut vila.
• I klassisk mekanik antas det finnas en absolut tid \displaystyle t samt att avstånd vid en given tid är desamma i alla inertialsystem.
• Vi kan byta inertialsystem i klassisk mekanik genom att använda oss av galileitransformationen \displaystyle t' = t, \quad x' = x - vt.
• Galileitransformationen medför att hastigheterna \displaystyle u och \displaystyle u' av samma objekt i två olika inertialsystem som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt varandra relateras enligt formeln \displaystyle u = u' + v. Detta kallas för hastighetsadditionsformeln.
• I ett rumtidsdiagram kan vi beskriva hur olika objekt rör sig genom att rita ut deras världslinjer som beskriver objektens läge som en funktion av tiden.
• Till skillnad från position och hastighet är acceleration i klassisk mekanik oberoende av inertialsystemet.
• En invariant är en fysikalisk storhet som antar samma värde i alla inertialsystem.