4.1 Vinklar och cirklar

Exempel 1

1. \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }
2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Exempel 2

1. Vinklarna \displaystyle -55^\circ och \displaystyle 665^\circ anger samma riktning eftersom

   \displaystyle -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}

2. Vinklarna \displaystyle \frac{3\pi}{7} och \displaystyle -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom

   \displaystyle \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}

3. Vinklarna \displaystyle 36^\circ och \displaystyle 216^\circ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom

   \displaystyle 36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Exempel 3

Exempel 4

1. Avståndet mellan \displaystyle (1,2) och \displaystyle (3,1) är

   \displaystyle d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}

2. Avståndet mellan \displaystyle (-1,0) och \displaystyle (-2,-5) är

   \displaystyle d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Exempel 5

1. På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,

   \displaystyle 3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }

2. Bestäm cirkelsektorns area.
   
   Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är

   \displaystyle \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}

   och det betyder att dess area är \displaystyle \frac{5}{36} delar av cirkelns area som är \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi, dvs.

   \displaystyle \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }

Exempel 6

Exempel 7

1. Ligger punkten \displaystyle (1,2) på cirkeln \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?
   
   Stoppar vi in punktens koordinater \displaystyle x=1 och \displaystyle y=2 i cirkelns ekvation har vi att

   \displaystyle \begin{align*} \mbox{VL } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{HL}\,\mbox{.} \end{align*}

   Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.

   

2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i \displaystyle (3,4) och innehåller punkten \displaystyle (1,0).
   
   Eftersom punkten \displaystyle (1,0) ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \displaystyle (1,0) till medelpunkten \displaystyle (3,4). Avståndsformeln ger att detta avstånd är

   \displaystyle c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}

   Cirkelns ekvation är därför

   \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

   

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen

för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är \displaystyle (a,b) och radien är \displaystyle r.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller \displaystyle x i vänsterledet

 \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller \displaystyle y

 (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Vänsterledet är alltså lika med

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation

Vi avläser att medelpunkten är \displaystyle (1,-2) och radien är \displaystyle \sqrt{4}= 2.