Förberedande Mekanik

Versionen från 1 mars 2010 kl. 13.58 (redigera) Tek (Diskussion | bidrag) m (flyttade 4. Forces and vectors till 4. Krafter och vektorer) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 13 juni 2010 kl. 17.08 (redigera) (ogör) Taifun (Diskussion | bidrag) m Gå till nästa ändring →
Rad 8:		Rad 8:
-	== '''Key Points''' ==	+	== '''Grundbegrepp''' ==
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Rad 18:		Rad 18:
	<math>F\cos \alpha </math>		<math>F\cos \alpha </math>
-	is one component of the force. If <math>\mathbf{i}</math> is horizontal,	+	är en komponent av kraften. Om <math>\mathbf{i}</math> är horisontell,
-	<math>F\cos \alpha </math>	+	kallas <math>F\cos \alpha </math> kraftens horisontella komponent.
-	is called the horizontal component of the force.	+
	<math>F\sin \alpha </math>		<math>F\sin \alpha </math>
-	is another component of the force. If <math>\mathbf{j}</math> is vertical,	+	är kraftens andra komponent. Om <math>\mathbf{j}</math> är vertikal,
-	<math>F\sin \alpha </math>	+	kallas <math>F\sin \alpha </math> kraftens vertikala komponent.
-	is called the vertical component of the force.	+
-	'''[[Example 4.1]]'''	+	'''[[Exempel 4.1]]'''
-	Express each of the forces given below in the form a<math>\mathbf{i}</math> + b<math>\mathbf{j}</math>.	+	Skriv varje given kraft nedan på formen a<math>\mathbf{i}</math> + b<math>\mathbf{j}</math>.
	a)		a)
Rad 41:		Rad 39:
	[[Image:TF4.1b.GIF]]		[[Image:TF4.1b.GIF]]
-	'''Solution'''	+	'''Lösning'''
	a) <math>20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>		a) <math>20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
Rad 47:		Rad 45:
	b) <math>-80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>		b) <math>-80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
-	Note the negative sign here in the first term.	+	Observera det negativa förtecknet i den första termen.
-	'''[[Example 4.2]]'''	+	'''[[Exempel 4.2]]'''
-	Express the force shown below as a vector in terms of <math>\mathbf{i}</math> and <math>\mathbf{j}</math>.	+	Skriv kraften nedan som en vektor i termer av <math>\mathbf{i}</math> och <math>\mathbf{j}</math>.
	[[Image:TF4.2.GIF]]		[[Image:TF4.2.GIF]]
-	'''Solution'''	+	'''Lösning'''
	<math>28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>		<math>28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
-	Note the negative sign in the second term.	+	Observera det negativa förtecknet i den andra termen.
-	'''[[Example 4.3]]'''	+	'''[[Exempel 4.3]]'''
-	Express the force shown below as a vector in terms of	+	Skriv kraften nedan som en vektor i termer av <math>\mathbf{i}</math> och <math>\mathbf{j}</math>
-	<math>\mathbf{i}</math>	+
-	and	+
-	<math>\mathbf{j}</math>	+
Rad 75:		Rad 70:
-	'''Solution'''	+	'''Lösning'''
	<math>-50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>		<math>-50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
-	Note that here both terms are negative.	+	Observera att här båda termerna är negativa.
-		+
-		+
-	'''[[Example 4.4]]'''
-	Find the magnitude of the force (4<math>\mathbf{i}</math> - 8<math>\mathbf{j}</math>) N. Draw a diagram to show the direction of this force.	+	'''[[Exempel 4.4]]'''
		+	Hitta storleken av kraften (4<math>\mathbf{i}</math> - 8<math>\mathbf{j}</math>) N. Rita en bild för att visa denna krafts riktning.
-	'''Solution'''	+	'''Lösning'''
	[[Image:TF4.4.GIF]]		[[Image:TF4.4.GIF]]
-	The magnitude, <math>F</math> , of the force is given by,	+	Storleken <math>F</math> av kraften är:
	<math>F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8\textrm{.}94\text{ N (to 3sf)}</math>		<math>F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8\textrm{.}94\text{ N (to 3sf)}</math>
-	The angle, <math>\theta </math>, is given by,	+	Vinkeln <math>\theta </math> är:
	<math>\theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63\textrm{.}4{}^\circ </math>		<math>\theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63\textrm{.}4{}^\circ </math>
-	'''[[Example 4.5]]'''	+	'''[[Exempel 4.5]]'''
-	Find the magnitude and direction of the resultant of the four forces shown in the diagram.	+	Hitta storleken och riktningen av resultanten till de fyra krafterna på bilden:
	[[Image:TF4.5.GIF]]		[[Image:TF4.5.GIF]]
-	'''Solution'''	+	'''Lösning'''
	{| width="100%" cellspacing="10px" align="center"		{| width="100%" cellspacing="10px" align="center"
Rad 132:		Rad 125:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
-	The magnitude is given by:	+	Storleken är:
	<math>\sqrt{{{23\textrm{.}627}^{2}}+{{3\textrm{.}730}^{2}}}=23\textrm{.}9\text{ N (to 3sf)}</math>		<math>\sqrt{{{23\textrm{.}627}^{2}}+{{3\textrm{.}730}^{2}}}=23\textrm{.}9\text{ N (to 3sf)}</math>
-	The angle <math>\theta </math> can be found using tan.	+	Vinkeln <math>\theta </math> kan hittas via tangens:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

---

Versionen från 13 juni 2010 kl. 17.08

Theory

Exercises

Grundbegrepp

\displaystyle \begin{align} & \mathbf{F}=F\cos \alpha \mathbf{i}+F\cos (90-\alpha )\mathbf{j} \\ & =F\cos \alpha \mathbf{i}+F\sin \alpha \mathbf{j} \end{align}

\displaystyle F\cos \alpha är en komponent av kraften. Om \displaystyle \mathbf{i} är horisontell, kallas \displaystyle F\cos \alpha kraftens horisontella komponent.

\displaystyle F\sin \alpha är kraftens andra komponent. Om \displaystyle \mathbf{j} är vertikal, kallas \displaystyle F\sin \alpha kraftens vertikala komponent.

Exempel 4.1

Skriv varje given kraft nedan på formen a\displaystyle \mathbf{i} + b\displaystyle \mathbf{j}.

a)

b)

Lösning

a) \displaystyle 20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

b) \displaystyle -80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera det negativa förtecknet i den första termen.

Exempel 4.2

Skriv kraften nedan som en vektor i termer av \displaystyle \mathbf{i} och \displaystyle \mathbf{j}.

Lösning

\displaystyle 28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera det negativa förtecknet i den andra termen.

Exempel 4.3

Skriv kraften nedan som en vektor i termer av \displaystyle \mathbf{i} och \displaystyle \mathbf{j}

Lösning

\displaystyle -50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera att här båda termerna är negativa.

Exempel 4.4 Hitta storleken av kraften (4\displaystyle \mathbf{i} - 8\displaystyle \mathbf{j}) N. Rita en bild för att visa denna krafts riktning.

Lösning

Storleken \displaystyle F av kraften är:

\displaystyle F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8\textrm{.}94\text{ N (to 3sf)}

Vinkeln \displaystyle \theta är:

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63\textrm{.}4{}^\circ

Exempel 4.5

Hitta storleken och riktningen av resultanten till de fyra krafterna på bilden:

Lösning

Force	Vector Form (N)
20 N	\displaystyle 20\cos 50{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 50{}^\circ \mathbf{j}
18 N	\displaystyle -18\mathbf{j}
25 N	\displaystyle -25\cos 20{}^\circ \mathbf{i}-25\sin 20{}^\circ \mathbf{j}
15 N	\displaystyle -15\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+15\sin 30{}^\circ \mathbf{j}

\displaystyle \begin{align} & \text{Resultant Force }=\text{ }\left( 20\cos 50{}^\circ -25\cos 20{}^\circ -15\cos 30{}^\circ \right)\mathbf{i}+\left( 20\sin 50{}^\circ -18-25\sin 20{}^\circ +15\sin 30{}^\circ \right)\mathbf{j} \\ & =-23\textrm{.}627\mathbf{i}-3\textrm{.}730\mathbf{j} \ \text{N} \end{align}

Storleken är:

\displaystyle \sqrt{{{23\textrm{.}627}^{2}}+{{3\textrm{.}730}^{2}}}=23\textrm{.}9\text{ N (to 3sf)}

Vinkeln \displaystyle \theta kan hittas via tangens:

\displaystyle \begin{align} & \tan \theta =\frac{3\textrm{.}730}{23\textrm{.}627} \\ & \theta =9\textrm{.}0{}^\circ \end{align}