Förberedande Mekanik

Theory

Exercises

Grundbegrepp

\displaystyle \begin{align} & \mathbf{F}=F\cos \alpha \mathbf{i}+F\cos (90-\alpha )\mathbf{j} \\ & =F\cos \alpha \mathbf{i}+F\sin \alpha \mathbf{j} \end{align}

\displaystyle F\cos \alpha är en komponent av kraften. Om \displaystyle \mathbf{i} är horisontell, kallas \displaystyle F\cos \alpha kraftens horisontella komponent.

\displaystyle F\sin \alpha är kraftens andra komponent. Om \displaystyle \mathbf{j} är vertikal, kallas \displaystyle F\sin \alpha kraftens vertikala komponent.

Exempel 4.1

Skriv varje given kraft nedan på formen a\displaystyle \mathbf{i} + b\displaystyle \mathbf{j}.

a)

b)

Lösning

a) \displaystyle 20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

b) \displaystyle -80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera det negativa förtecknet i den första termen.

Exempel 4.2

Skriv kraften nedan som en vektor i termer av \displaystyle \mathbf{i} och \displaystyle \mathbf{j}.

Lösning

\displaystyle 28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera det negativa förtecknet i den andra termen.

Exempel 4.3

Skriv kraften nedan som en vektor i termer av \displaystyle \mathbf{i} och \displaystyle \mathbf{j}

Lösning

\displaystyle -50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera att här båda termerna är negativa.

Exempel 4.4 Hitta storleken av kraften (4\displaystyle \mathbf{i} - 8\displaystyle \mathbf{j}) N. Rita en bild för att visa denna krafts riktning.

Lösning

Storleken \displaystyle F av kraften är:

\displaystyle F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8\textrm{.}94\text{ N (to 3sf)}

Vinkeln \displaystyle \theta är:

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63\textrm{.}4{}^\circ

Exempel 4.5

Hitta storleken och riktningen av resultanten till de fyra krafterna på bilden:

Lösning

Kraft	Vektorform (N)
20 N	\displaystyle 20\cos 50{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 50{}^\circ \mathbf{j}
18 N	\displaystyle -18\mathbf{j}
25 N	\displaystyle -25\cos 20{}^\circ \mathbf{i}-25\sin 20{}^\circ \mathbf{j}
15 N	\displaystyle -15\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+15\sin 30{}^\circ \mathbf{j}

\displaystyle \begin{align} & \text{Resultanten }=\text{ }\left( 20\cos 50{}^\circ -25\cos 20{}^\circ -15\cos 30{}^\circ \right)\mathbf{i}+\left( 20\sin 50{}^\circ -18-25\sin 20{}^\circ +15\sin 30{}^\circ \right)\mathbf{j} \\ & =-23\textrm{.}627\mathbf{i}-3\textrm{.}730\mathbf{j} \ \text{N} \end{align}

Storleken är:

\displaystyle \sqrt{{{23\textrm{.}627}^{2}}+{{3\textrm{.}730}^{2}}}=23\textrm{.}9\text{ N (to 3sf)}

Vinkeln \displaystyle \theta kan hittas via tangens:

\displaystyle \begin{align} & \tan \theta =\frac{3\textrm{.}730}{23\textrm{.}627} \\ & \theta =9\textrm{.}0{}^\circ \end{align}