4. Krafter och vektorer

Förberedande Mekanik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
m (New page: <math>\begin{align} & \mathbf{F}=F\cos \alpha \mathbf{i}+F\cos (90-\alpha )\mathbf{j} \\ & =F\cos \alpha \mathbf{i}+F\sin \alpha \mathbf{j} \end{align}</math> Image:TF.teori.GIF ...)
Nuvarande version (13 juni 2010 kl. 17.09) (redigera) (ogör)
m
 
(9 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Selected tab|[[4. Forces and vectors|Theory]]}}
 +
{{Not selected tab|[[4. Exercises|Exercises]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
 +
 +
== '''Grundbegrepp''' ==
 +
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
& \mathbf{F}=F\cos \alpha \mathbf{i}+F\cos (90-\alpha )\mathbf{j} \\
& \mathbf{F}=F\cos \alpha \mathbf{i}+F\cos (90-\alpha )\mathbf{j} \\
& =F\cos \alpha \mathbf{i}+F\sin \alpha \mathbf{j}
& =F\cos \alpha \mathbf{i}+F\sin \alpha \mathbf{j}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
- 
- 
[[Image:TF.teori.GIF]]
[[Image:TF.teori.GIF]]
- 
- 
- 
- 
<math>F\cos \alpha </math>
<math>F\cos \alpha </math>
-
is one component of the force. If <math>\mathbf{i}</math> is horizontal,
+
är en komponent av kraften. Om <math>\mathbf{i}</math> är horisontell,
-
<math>F\cos \alpha </math>
+
kallas <math>F\cos \alpha </math> kraftens horisontella komponent.
-
is called the horizontal component of the force.
+
<math>F\sin \alpha </math>
<math>F\sin \alpha </math>
-
is another component of the force. If <math>\mathbf{j}</math> is vertical,
+
är kraftens andra komponent. Om <math>\mathbf{j}</math> är vertikal,
-
<math>F\sin \alpha </math>
+
kallas <math>F\sin \alpha </math> kraftens vertikala komponent.
-
is called the vertical component of the force.
+
-
'''[[Example 4.1]]'''
 
-
Express each of the forces given below in the form a<math>\mathbf{i}</math> + b<math>\mathbf{j}</math>.
+
'''[[Exempel 4.1]]'''
-
(a)
+
Skriv varje given kraft nedan på formen a<math>\mathbf{i}</math> + b<math>\mathbf{j}</math>.
 +
 
 +
a)
[[Image:TF4.1a.GIF]]
[[Image:TF4.1a.GIF]]
-
(b)
+
b)
[[Image:TF4.1b.GIF]]
[[Image:TF4.1b.GIF]]
-
'''Solution'''
+
'''Lösning'''
-
(a)
+
a) <math>20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
-
+
-
<math>20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
 +
b) <math>-80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
-
(b)
+
Observera det negativa förtecknet i den första termen.
-
+
-
<math>-80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
-
Note the negative sign here in the first term.
+
'''[[Exempel 4.2]]'''
-
 
+
Skriv kraften nedan som en vektor i termer av <math>\mathbf{i}</math> och <math>\mathbf{j}</math>.
-
+
-
'''[[Example 4.2]]'''
+
-
 
+
-
Express the force shown below as a vector in terms of <math>\mathbf{i}</math> and <math>\mathbf{j}</math>.
+
[[Image:TF4.2.GIF]]
[[Image:TF4.2.GIF]]
-
 
+
'''Lösning'''
-
'''Solution'''
+
-
 
+
-
<math>28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
<math>28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
 +
Observera det negativa förtecknet i den andra termen.
-
Note the negative sign in the second term.
 
 +
'''[[Exempel 4.3]]'''
-
 
+
Skriv kraften nedan som en vektor i termer av <math>\mathbf{i}</math> och <math>\mathbf{j}</math>
-
'''[[Example 4.3]]'''
+
-
 
+
-
 
+
-
Express the force shown below as a vector in terms of
+
-
<math>\mathbf{i}</math>
+
-
and
+
-
<math>\mathbf{j}</math>
+
Rad 81: Rad 70:
-
'''Solution'''
+
'''Lösning'''
-
 
+
-
+
<math>-50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}</math>
-
<math>-50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Note that here both terms are negative.
+
-
 
+
 +
Observera att här båda termerna är negativa.
-
'''[[Example 4.4]]'''
 
-
Find the magnitude of the force (4<math>\mathbf{i}</math> - 8<math>\mathbf{j}</math>) N. Draw a diagram to show the direction of this force.
+
'''[[Exempel 4.4]]'''
 +
Hitta storleken av kraften (4<math>\mathbf{i}</math> - 8<math>\mathbf{j}</math>) N. Rita en bild för att visa denna krafts riktning.
-
'''Solution'''
+
'''Lösning'''
[[Image:TF4.4.GIF]]
[[Image:TF4.4.GIF]]
-
The magnitude, FN , of the force is given by,
+
Storleken <math>F</math> av kraften är:
-
<math>F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8.94\text{ N (to 3sf)}</math>
+
<math>F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8\textrm{.}94\text{ N (to 3sf)}</math>
-
The angle, <math>\theta </math>, is given by,
+
Vinkeln <math>\theta </math> är:
-
<math>\theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63.4{}^\circ </math>
+
<math>\theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63\textrm{.}4{}^\circ </math>
-
'''[[Example 4.5]]'''
+
'''[[Exempel 4.5]]'''
-
 
+
-
Find the magnitude and direction of the resultant of the four forces shown in the diagram.
+
 +
Hitta storleken och riktningen av resultanten till de fyra krafterna på bilden:
[[Image:TF4.5.GIF]]
[[Image:TF4.5.GIF]]
 +
'''Lösning'''
-
'''Solution'''
+
{| width="100%" cellspacing="10px" align="center"
-
 
+
|align="left"| Kraft
-
Force Vector Form
+
| valign="top"|Vektorform (N)
-
20 N
+
|-
-
<math>20\cos 50{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 50{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
|20 N
-
 
+
| valign="top"| <math>20\cos 50{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 50{}^\circ \mathbf{j}</math>
-
18 N
+
|-
-
<math>-18\mathbf{j}</math>
+
| 18 N
-
 
+
|valign="top"| <math>-18\mathbf{j}</math>
-
25 N
+
|-
-
<math>-25\cos 20{}^\circ \mathbf{i}-25\sin 20{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
| 25 N
-
 
+
|valign="top"|<math>-25\cos 20{}^\circ \mathbf{i}-25\sin 20{}^\circ \mathbf{j}</math>
-
15 N
+
|-
-
<math>-15\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+15\sin 30{}^\circ \mathbf{j}</math>
+
| 15 N
-
 
+
|valign="top"|<math>-15\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+15\sin 30{}^\circ \mathbf{j}</math>
-
 
+
|}
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& \text{Resultant Force }=\text{ }\left( 20\cos 50{}^\circ -25\cos 20{}^\circ -15\cos 30{}^\circ \right)\mathbf{i}+\left( 20\sin 50{}^\circ -18-25\sin 20{}^\circ +15\sin 30{}^\circ \right)\mathbf{j} \\
+
& \text{Resultanten }=\text{ }\left( 20\cos 50{}^\circ -25\cos 20{}^\circ -15\cos 30{}^\circ \right)\mathbf{i}+\left( 20\sin 50{}^\circ -18-25\sin 20{}^\circ +15\sin 30{}^\circ \right)\mathbf{j} \\
-
& =-23.627\mathbf{i}-3.730\mathbf{j}
+
& =-23\textrm{.}627\mathbf{i}-3\textrm{.}730\mathbf{j} \ \text{N}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
 +
Storleken är:
 +
 +
<math>\sqrt{{{23\textrm{.}627}^{2}}+{{3\textrm{.}730}^{2}}}=23\textrm{.}9\text{ N (to 3sf)}</math>
-
The magnitude is given by:
+
Vinkeln <math>\theta </math> kan hittas via tangens:
-
 
+
-
+
-
<math>\sqrt{{{23.627}^{2}}+{{3.730}^{2}}}=23.9\text{ N (to 3sf)}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
The angle <math>\theta </math> can be found using tan.
+
-
 
+
-
+
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& \tan \theta =\frac{3.730}{23.627} \\
+
& \tan \theta =\frac{3\textrm{.}730}{23\textrm{.}627} \\
-
& \theta =9.0{}^\circ
+
& \theta =9\textrm{.}0{}^\circ
\end{align}</math>
\end{align}</math>
- 
[[Image:TF4.5a.GIF]]
[[Image:TF4.5a.GIF]]

Nuvarande version

       Theory          Exercises      


Grundbegrepp

\displaystyle \begin{align} & \mathbf{F}=F\cos \alpha \mathbf{i}+F\cos (90-\alpha )\mathbf{j} \\ & =F\cos \alpha \mathbf{i}+F\sin \alpha \mathbf{j} \end{align}

Image:TF.teori.GIF

\displaystyle F\cos \alpha är en komponent av kraften. Om \displaystyle \mathbf{i} är horisontell, kallas \displaystyle F\cos \alpha kraftens horisontella komponent.


\displaystyle F\sin \alpha är kraftens andra komponent. Om \displaystyle \mathbf{j} är vertikal, kallas \displaystyle F\sin \alpha kraftens vertikala komponent.


Exempel 4.1

Skriv varje given kraft nedan på formen a\displaystyle \mathbf{i} + b\displaystyle \mathbf{j}.

a)

Image:TF4.1a.GIF

b)

Image:TF4.1b.GIF

Lösning

a) \displaystyle 20\cos 40{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 40{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

b) \displaystyle -80\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+80\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera det negativa förtecknet i den första termen.


Exempel 4.2

Skriv kraften nedan som en vektor i termer av \displaystyle \mathbf{i} och \displaystyle \mathbf{j}.


Image:TF4.2.GIF

Lösning

\displaystyle 28\cos 30{}^\circ \mathbf{i}-28\sin 30{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera det negativa förtecknet i den andra termen.


Exempel 4.3

Skriv kraften nedan som en vektor i termer av \displaystyle \mathbf{i} och \displaystyle \mathbf{j}


Image:TF4.3.GIF


Lösning

\displaystyle -50\cos 44{}^\circ \mathbf{i}-50\sin 44{}^\circ \mathbf{j}\ \text{N}

Observera att här båda termerna är negativa.


Exempel 4.4 Hitta storleken av kraften (4\displaystyle \mathbf{i} - 8\displaystyle \mathbf{j}) N. Rita en bild för att visa denna krafts riktning.

Lösning

Image:TF4.4.GIF


Storleken \displaystyle F av kraften är:

\displaystyle F=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{80}=8\textrm{.}94\text{ N (to 3sf)}


Vinkeln \displaystyle \theta är:

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{8}{4} \right)=63\textrm{.}4{}^\circ


Exempel 4.5

Hitta storleken och riktningen av resultanten till de fyra krafterna på bilden:

Image:TF4.5.GIF

Lösning

Kraft Vektorform (N)
20 N \displaystyle 20\cos 50{}^\circ \mathbf{i}+20\sin 50{}^\circ \mathbf{j}
18 N \displaystyle -18\mathbf{j}
25 N \displaystyle -25\cos 20{}^\circ \mathbf{i}-25\sin 20{}^\circ \mathbf{j}
15 N \displaystyle -15\cos 30{}^\circ \mathbf{i}+15\sin 30{}^\circ \mathbf{j}

\displaystyle \begin{align} & \text{Resultanten }=\text{ }\left( 20\cos 50{}^\circ -25\cos 20{}^\circ -15\cos 30{}^\circ \right)\mathbf{i}+\left( 20\sin 50{}^\circ -18-25\sin 20{}^\circ +15\sin 30{}^\circ \right)\mathbf{j} \\ & =-23\textrm{.}627\mathbf{i}-3\textrm{.}730\mathbf{j} \ \text{N} \end{align}

Storleken är:

\displaystyle \sqrt{{{23\textrm{.}627}^{2}}+{{3\textrm{.}730}^{2}}}=23\textrm{.}9\text{ N (to 3sf)}

Vinkeln \displaystyle \theta kan hittas via tangens:

\displaystyle \begin{align} & \tan \theta =\frac{3\textrm{.}730}{23\textrm{.}627} \\ & \theta =9\textrm{.}0{}^\circ \end{align}

Image:TF4.5a.GIF

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2010/forberedandemekanik/index.php/4._Krafter_och_vektorer