Lösung 1.1:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt \displaystyle (x_0,y_0) tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also
| \displaystyle y_0 = -x_0^2\,\textrm{.} | (1) |
Schreiben wir die Tangente wie \displaystyle y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung, \displaystyle y^{\,\prime} = -2x, im Punkt \displaystyle x=x_0,
| \displaystyle k = -2x_0\,\textrm{.} | (2) |
Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt \displaystyle (x_0,y_0) geht, gibt
| \displaystyle y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.} | (3) |
Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
| \displaystyle 1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.} | (4) |
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten \displaystyle x_0, \displaystyle y_{0}, \displaystyle k und \displaystyle m.
Nachdem wir \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ersuchen, eliminieren wir zuerst k und m,
Die Gleichung (2) Gibt dass \displaystyle k = -2 x_0 und dies in der Gleichung (4) gibt,
| \displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.} |
Jetzt haben wir k, und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur \displaystyle x_0 und -Terme,
| \displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.} | (3') |
Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0,
| \displaystyle \left\{\begin{align}
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0,
| \displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,, |
also
| \displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.} |
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
| \displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.} |
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,
| \displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.} |
Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.
