Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt \displaystyle (x_0,y_0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

\displaystyle y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}

(1)

Schreiben wir die Tangente als \displaystyle y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung \displaystyle y^{\,\prime} = -2x an der Stelle \displaystyle x=x_0.

\displaystyle k = -2x_0\,\textrm{}

(2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt \displaystyle (x_0,y_0) geht, gibt

\displaystyle y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}

(3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

\displaystyle 1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}

(4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten \displaystyle x_0, \displaystyle y_{0}, \displaystyle k und \displaystyle m.

Da wir \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass \displaystyle k = -2 x_0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

\displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}

Jetzt haben wir k und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur \displaystyle x_0- und \displaystyle y_0-Terme.

\displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}

(3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0.

\displaystyle \left\{\begin{align} y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} \end{align}\right.

Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0.

\displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,

also

\displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

\displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}

Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.