3.3 Übungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Übung 3.3:1
Bringen Sie folgende komplexe Zahlen in die Form \displaystyle \,a+ib\,, wo \displaystyle \,a\, und \displaystyle \,b\, reelle Zahlen sind:
| a) | \displaystyle (i+1)^{12} | b) | \displaystyle \displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12} |
| c) | \displaystyle (4\sqrt{3} -4i)^{22} | d) | \displaystyle \Bigl(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\,\Bigr)^{12} |
| e) | \displaystyle \displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3}\,)(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9} |
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Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Lösung e
Übung 3.3:2
Lösen Sie die Gleichungen
| a) | \displaystyle z^4=1 | b) | \displaystyle z^3=-1 | c) | \displaystyle z^5=-1-i |
| d) | \displaystyle (z-1)^4+4=0 | e) | \displaystyle \displaystyle\Bigl(\frac{z+i}{z-i}\Bigr)^2 = -1 |
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Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Lösung e
Übung 3.3:3
Egänzen Sie folgende Ausdrücke quadratisch
| a) | \displaystyle z^2 +2z+3 | b) | \displaystyle z^2 +3iz-\frac{1}{4} |
| c) | \displaystyle -z^2-2iz +4z+1 | d) | \displaystyle iz^2+(2+3i)z-1 |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Übung 3.3:4
Lösen Sie die Gleichungen
| a) | \displaystyle z^2=i | b) | \displaystyle z^2-4z+5=0 |
| c) | \displaystyle z^2+2z+3=0 | d) | \displaystyle \displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2} |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Übung 3.3:5
Lösen Sie die Gleichungen
| a) | \displaystyle z^2-2(1+i)z+2i-1=0 | b) | \displaystyle z^2-(2-i)z+(3-i)=0 |
| c) | \displaystyle z^2-(1+3i)z-4+3i=0 | d) | \displaystyle (4+i)z^2+(1-21i)z=17 |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Übung 3.3:6
Bestimmen Sie die Wurzeln von \displaystyle \,z^2=1+i\, in Polarform, und in der Form \displaystyle \,a+ib\,, wo \displaystyle \,a\, und \displaystyle \,b\, reelle Zahlen sind. Verwenden sie das Ergebnis, um \displaystyle \; \tan \frac{\pi}{8}\, zu berechnen.
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Lösung
