Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Der Trick ist dass man den Zähler manipuliert, sodass der Term mit den Höchsten Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner Teilbar werden. Dies gelingt einen, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.

In unserem Fall schreiben wir

\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}

Wir haben hier \displaystyle x addier, und dann subtrahiert. Jetzt können wir den \displaystyle x^2-Term los werden,

\displaystyle \begin{align} \frac{x^2+x-x}{x+1} &= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Wir haben also \displaystyle x addiert, sodass der Term \displaystyle x^2+x durch \displaystyle x+1 teilbar wird.

Mir den zweiten Term, \displaystyle x/(x+1) machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren \displaystyle 1 vom Zählern sodass wir \displaystyle x+1 erhalten,

\displaystyle \begin{align} x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner, und damit sind wir mit der Division fertig.