Lösung 2.2:2d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir probieren die Substitution \displaystyle u=1-x,
| \displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}
u &= 1-x\\[5pt] du &= (1-x)'\,dx = -\,dx \end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.} |
Beachten Sie die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wächseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen,
| \displaystyle -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,\textrm{.} |
Wir erhalten,
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du &= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du = \biggl[\ \frac{u^{1/3+1}}{\tfrac{1}{3}+1}\ \biggr]_0^1\\[5pt] &= \frac{3}{4}\Bigl[\ u^{4/3}\ \Bigr]_0^1 = \frac{3}{4}\bigl( 1^{4/3}-0^{4/3} \bigr) = \frac{3}{4}\,\textrm{.} \end{align} |
