Lösung 2.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir probieren die Substitution \displaystyle u=1-x.

\displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt[3]{1-x}\,dx = \left\{ \begin{align}

u &= 1-x\\[5pt] du &= (1-x)'\,dx = -\,dx \end{align} \right\} = -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du\,

Beachte die Änderungen in den Integrationsgrenzen. Wir können jetzt die obere und untere Grenzen wechseln, wenn wir gleichzeitig das Vorzeichen vom Integrand tauschen.

\displaystyle -\int\limits_1^0 \sqrt[3]{u}\,du = +\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du\,

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^1 \sqrt[3]{u}\,du &= \int\limits_0^1 u^{1/3}\,du = \biggl[\ \frac{u^{1/3+1}}{\tfrac{1}{3}+1}\ \biggr]_0^1\\[5pt] &= \frac{3}{4}\Bigl[\ u^{4/3}\ \Bigr]_0^1 = \frac{3}{4}\bigl( 1^{4/3}-0^{4/3} \bigr) = \frac{3}{4}\,\textrm{.} \end{align}