Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable \displaystyle x gehen.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,,

oder,

\displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Nachdem \displaystyle x\,dx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 direkt ausführen,

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align} u &= x^2+3\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen,

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C\,\textrm{.}

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable \displaystyle x indem wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 ausführen,

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,,

Wo \displaystyle C eine beliebige Konstante ist.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir \displaystyle \tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C ableiten, und sehen ob wir \displaystyle (x^2+3)^5x\, erhalten.