Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable \displaystyle x gehen.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,

oder

\displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Da \displaystyle x\,dx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 direkt ausführen.

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align} u &= x^2+3\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable \displaystyle x, indem wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 ausführen.

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,

\displaystyle C ist dabei eine beliebige Konstante.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir \displaystyle \tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C ableiten und sehen, ob wir \displaystyle (x^2+3)^5x\, erhalten.