Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Version vom 11:29, 5. Sep. 2009

\displaystyle z^{5}=-1-i

stelle\displaystyle -1-i exponential dar:

\displaystyle -1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi} wobei r=Betrag und \displaystyle \phi=Argument

\displaystyle r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} Dann:

\displaystyle -1-i=\sqrt{2}(\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)

Gesucht werden alle Winkeln \displaystyle \phi, für die gilt:

\displaystyle cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2} und \displaystyle sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi mit \displaystyle n \in Z

Also \displaystyle z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}

\displaystyle z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}

Die Gleichung \displaystyle z^{5}=-1-i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. \displaystyle n=0 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4})}

2. \displaystyle n=1 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{13\pi}{20})}

3. \displaystyle n=2 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{21\pi}{20})}

4. \displaystyle n=3 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{29\pi}{20})}

5. \displaystyle n=4 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{37\pi}{20})}