Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir stellen \displaystyle -1-i exponential dar:

\displaystyle -1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}

wobei r = Betrag und \displaystyle \phi = Argument sind.

\displaystyle r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}

Dann klammern wir \displaystyle r = \sqrt{2} aus:

\displaystyle -1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i)

Gesucht werden alle Winkel \displaystyle \phi, für die gilt:

\displaystyle cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2} und \displaystyle sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}

Diese Winkel sind

\displaystyle \phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi

mit \displaystyle n \in Z.

Also

\displaystyle z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}

Wir ziehen die 5. Wurzel, um \displaystyle z aus \displaystyle z^5 zu erhalten:

\displaystyle z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}

Die Gleichung \displaystyle z^{5}=-1-i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. \displaystyle n=0 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi} (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch \displaystyle \frac{1}{10} mal e hoch \displaystyle i \frac{1}{4} \pi )

2. \displaystyle n=1 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}

3. \displaystyle n=2 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}

4. \displaystyle n=3 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}

5. \displaystyle n=4 : \displaystyle z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}

Die nächste Lösung für \displaystyle n=5 ist wegen der 2-\displaystyle \pi Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit \displaystyle n=0 .