Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Version vom 11:50, 3. Sep. 2009

Nach Kapitel 4 gilt: \displaystyle 2sin(x)cos(x) = sin(2x) .

und \displaystyle sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2} d.h. \displaystyle cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1

Also:

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\ &= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\ &= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\ &= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\ &= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\ &= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\ \end{align}