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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Version vom 10:54, 3. Sep. 2009
Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \ -sin x die Ableitung von \displaystyle \cos x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\sin x und erhalten so das Intagral
| \displaystyle \int u\cdot u'\,dx. |
Also erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int -u\,du\\[5pt] &= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\ &= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align} |
weil \displaystyle C+\frac{1}{2} =C (Konstante + Konstante ist eine Konstante)
