Lösung 2.2:2b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Mit der Substitution <math>u=2x+3</math> | + | Mit der Substitution <math>u=2x+3</math> erhalten wir das Intagral <math>e^u</math>. Wir müssen aber auch den Faktor <math>dx</math> berücksichtigen. In diesem Fall erhalten wir |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx</math>.}} |
| - | Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, | + | Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, also erhalten wir |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Mit der Substitution \displaystyle u=2x+3 erhalten wir das Intagral \displaystyle e^u. Wir müssen aber auch den Faktor \displaystyle dx berücksichtigen. In diesem Fall erhalten wir
| \displaystyle du = (2x+3)'\,dx = 2\,dx. |
Dies ändert den Integrand nur mit einer Konstante, also erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_0^{1/2} e^{2x+3}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 2x+3\\[5pt] du &= 2\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{2}\int\limits_3^4 e^u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_3^4 = \frac{1}{2}\bigl(e^4-e^3\bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
Hinweis: Eine weitere mögliche Substitution ist \displaystyle u=e^{2x+3}. Normalerweise funktioniert es aber nicht mit so "großen" Substitutionen.
