Lösung 3.4:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Danach addieren und subtrahieren wir
Danach addieren und subtrahieren wir
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<math>-x</math> sodass wir <math>-x^2-x = -x(x+1)</math> erhalten, nachdem dies durch
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<math>-x</math>, sodass wir <math>-x^2-x = -x(x+1)</math> erhalten, nachdem dies durch
<math>x+1</math> teilbar ist,
<math>x+1</math> teilbar ist,
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)</math>}}
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Wir erweitern die rechte Seite, und sehen dass alles stimmt,
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Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.}
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 19:07, 23. Aug. 2009

Wir beginnen damit \displaystyle x^2 zu addieren und subtrahieren, sodass wir \displaystyle x^3+x^2 = x^2(x+1) im Zähler erhalten,

\displaystyle \begin{align}

\frac{x^3+x+2}{x+1} &= \frac{x^3+x^2-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^3+x^2}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Danach addieren und subtrahieren wir \displaystyle -x, sodass wir \displaystyle -x^2-x = -x(x+1) erhalten, nachdem dies durch \displaystyle x+1 teilbar ist,

\displaystyle \begin{align}

x^2 + \frac{-x^2+x+2}{x+1} &= x^2 + \frac{-x^2-x+x+x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x^2-x}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 + \frac{-x(x+1)}{x+1} + \frac{2x+2}{x+1}\\[5pt] &= x^2 - x + \frac{2x+2}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten

\displaystyle x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.}

Wir testen ob

\displaystyle \frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{.}

indem wir kontrollieren ob

\displaystyle x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)

Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt,

\displaystyle \begin{align}

(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.} \end{align}

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