Lösung 2.2:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
-
Wir sehen dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist,
+
Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
Zeile 24: Zeile 24:
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
-
sehen wir dass <math>x^2+2x+2</math> immer grösser als 1 ist, und daher können wir das betragszeichen auslassen,
+
sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist, daher können wir das Betragszeichen weglassen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 09:58, 22. Aug. 2009

Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

\displaystyle (x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)

Also ist das Integral

\displaystyle \int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}

Durch die Substitution \displaystyle u=x^2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral,

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= x^2+2x+2\\[5pt] du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Durch quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1

sehen wir, dass \displaystyle x^2+2x+2 immer größer als 1 ist, daher können wir das Betragszeichen weglassen,

\displaystyle \frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:3d“