Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

\displaystyle (x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1).

Also ist das Integral

\displaystyle \int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}

Durch die Substitution \displaystyle u=x^2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral.

\displaystyle \begin{align} \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= x^2+2x+2\\[5pt] du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C \end{align}

Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1

sehen wir, dass \displaystyle x^2+2x+2 immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.

\displaystyle \frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C