Lösung 2.2:1a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen. | Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen. | ||
| - | Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> | + | Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> machen, müssen wir folgendes bedenken: |
# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden. | # Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden. | ||
| - | # <math>dx</math> | + | # <math>dx</math> muss mit <math>du</math> ersetzt werden, indem <math>du=u'(x)\,dx</math>. |
# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden. | # Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden. | ||
| Zeile 13: | Zeile 13: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}} | ||
| - | und also ersetzen wir<math>dx</math>mit <math>\tfrac{1}{3}\ | + | und also ersetzen wir<math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3}\du</math>. |
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze | Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze | ||
Version vom 09:38, 22. Aug. 2009
Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
Wenn wir die Substitution \displaystyle u=u(x) machen, müssen wir folgendes bedenken:
- Das Integral muss mit der neuen Variable \displaystyle u umgeschrieben werden.
- \displaystyle dx muss mit \displaystyle du ersetzt werden, indem \displaystyle du=u'(x)\,dx.
- Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable \displaystyle u angepasst werden.
In diesem Fall machen wir die Substitution \displaystyle u=3x-1, nachdem \displaystyle 1/(3x-1)^4 mit \displaystyle 1/u^4 ersetzt wird, und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.
Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet
| \displaystyle du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,, |
und also ersetzen wir\displaystyle dx mit \displaystyle \tfrac{1}{3}\du.
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze \displaystyle x=1, \displaystyle u=3\cdot 1-1=2. Die obere Integrationsgrenze \displaystyle x=2, entspricht \displaystyle u=3\cdot 2-1=5\,.
Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens
| \displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}
u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.} |
oder weniger detailliert,
| \displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.} |
Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet;
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} &= \left\{\begin{align} u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4} = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 u^{-4}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{u^{-4+1}}{-4+1}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl[\ \frac{1}{u^3}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl(\frac{1}{5^3} - \frac{1}{2^3} \Bigr) = -\frac{1}{9}\cdot\frac{2^3-5^3}{2^3\cdot 5^3}\\[5pt] &= \frac{117}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{3^2\cdot 13}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{1000}\,\textrm{.} \end{align} |
