Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u=u(x) durchführen, müssen wir folgendes bedenken:

1. Das Integral muss mit der neuen Variable \displaystyle u umgeschrieben werden.
2. \displaystyle dx muss mit \displaystyle du ersetzt werden, indem \displaystyle du=u'(x)\,dx.
3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable \displaystyle u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution \displaystyle u=3x-1, da \displaystyle 1/(3x-1)^4 mit \displaystyle 1/u^4 ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,

also ersetzen wir \displaystyle dx mit \displaystyle \tfrac{1}{3} du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze \displaystyle x=1, \displaystyle u=3\cdot 1-1=2. Die obere Integrationsgrenze \displaystyle x=2 entspricht \displaystyle u=3\cdot 2-1=5\,.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

\displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align} u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,

oder weniger detailliert

\displaystyle \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet

\displaystyle \begin{align} \int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} &= \left\{\begin{align} u &= 3x-1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4} = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 u^{-4}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{u^{-4+1}}{-4+1}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl[\ \frac{1}{u^3}\ \Bigr]_2^5 = -\frac{1}{9}\Bigl(\frac{1}{5^3} - \frac{1}{2^3} \Bigr) = -\frac{1}{9}\cdot\frac{2^3-5^3}{2^3\cdot 5^3}\\[5pt] &= \frac{117}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{3^2\cdot 13}{3^2\cdot 2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{2^3\cdot 5^3} = \frac{13}{1000}\,\textrm{.} \end{align}