Lösung 3.4:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 3.4:1b moved to Lösung 3.4:1b: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
The trick is to complement the numerator with terms that are missing so that the division of the leading term (the term of highest degree) becomes possible, and then successively work down in degree until the numerator has lower degree than the denominator.
+
Der Trick ist dass man den Zähler manipuliert, sodass der Term mit den Höchsten Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner Teilbar werden. Dies gelingt einen, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.
-
In our example, we write first
+
In unserem Fall schreiben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}
-
Note that we have added <math>x</math> and then taken away the same <math>x</math> in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in <math>x^2</math>,
+
Wir haben hier <math>x</math> addier, und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 14: Zeile 14:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Thus, we added <math>x</math> which is precisely what is necessary in order that the numerator <math>x^2</math> should contain a sub expression which has <math>x+1</math> as a factor.
+
Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.
-
We can treat the second term <math>x/(x+1)</math> in a similar way. Add and take away <math>1</math> in order to get <math>x+1</math>, which can then be divided away,
+
Mir den zweiten Term, <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> vom Zählern sodass wir <math>x+1</math> erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 23: Zeile 23:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
In the remaining polynomial fraction, the numerator is of lower degree than the denominator and we cannot go any further with the division.
+
Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner, und damit sind wir mit der Division fertig.

Version vom 13:00, 21. Mai 2009

Der Trick ist dass man den Zähler manipuliert, sodass der Term mit den Höchsten Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner Teilbar werden. Dies gelingt einen, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.

In unserem Fall schreiben wir

\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}

Wir haben hier \displaystyle x addier, und dann subtrahiert. Jetzt können wir den \displaystyle x^2-Term los werden,

\displaystyle \begin{align}

\frac{x^2+x-x}{x+1} &= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Wir haben also \displaystyle x addiert, sodass der Term \displaystyle x^2+x durch \displaystyle x+1 teilbar wird.

Mir den zweiten Term, \displaystyle x/(x+1) machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren \displaystyle 1 vom Zählern sodass wir \displaystyle x+1 erhalten,

\displaystyle \begin{align}

x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.} \end{align}

Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner, und damit sind wir mit der Division fertig.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:1b“