Lösung 2.2:3e

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If we differentiate the denominator in the integrand
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Die Ableitung des Nenners ist
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>}}
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we obtain almost the same expression as in the numerator; there is a constant 2 which is different. We therefore rewrite the numerator as
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Dies ist fast der Zähler. Wir schreiben den Zähler wie
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
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so the integral can be written as
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sodass wir das folgende Integral erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,</math>}}
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and we see that the substitution <math>u=x^2+1</math> can be used to simplify the integral,
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Wir sehen hier dass die Substitution <math>u=x^2+1</math> günstig ist,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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In the last step, we take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math>, because <math>x^2+1</math> is always greater than or equal to 1.
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Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, nachdem <math>x^2+1</math>immer positiv ist.

Version vom 13:29, 5. Mai 2009

Die Ableitung des Nenners ist

\displaystyle (x^2+1)' = 2x

Dies ist fast der Zähler. Wir schreiben den Zähler wie

\displaystyle 3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',

sodass wir das folgende Integral erhalten,

\displaystyle \int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,

Wir sehen hier dass die Substitution \displaystyle u=x^2+1 günstig ist,

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{3x}{x^2+1}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= x^2+1\\[5pt] du &= (x^2+1)'\,dx = 2x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C\,\textrm{.} \end{align}

Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, nachdem \displaystyle x^2+1immer positiv ist.

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