Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Die Ableitung des Nenners ist

\displaystyle (x^2+1)' = 2x.

Dies entspricht fast dem Zähler. Wir schreiben den Zähler wie

\displaystyle 3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',

sodass wir das folgende Integral erhalten

\displaystyle \int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,.

Wir sehen hier, dass die Substitution \displaystyle u=x^2+1 günstig ist.

\displaystyle \begin{align} \int \frac{3x}{x^2+1}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= x^2+1\\[5pt] du &= (x^2+1)'\,dx = 2x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt] &= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C \end{align}

Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da \displaystyle x^2+1 immer positiv ist.