Lösung 2.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 2.2:3b moved to Lösung 2.2:3b: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we are to succeed in simplifying the integral with a substitution, we must find an expression <math>u = u(x)</math> so that the integral can be written as
+
Wir sehen dass der Faktor <math>\cos x</math> die Ableitung von <math>\sin x</math> ist. Wir machen die Substitution <math>u=\sin x</math>, und erhalten
-
 
+
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \left(\begin{matrix}
+
-
\text{something}\\
+
-
\text{in u}
+
-
\end{matrix}\right)\cdot {u}'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
+
-
 
+
-
As our integral is written,
+
-
 
+
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\sin x\cos x\,dx</math>}}
+
-
 
+
-
we see that the second factor <math>\cos x</math> is a derivative of the first factor, <math>\sin x</math>. If <math>u=\sin x</math>, the integral can thus be written as
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>}}
-
and this makes <math>u=\sin x</math> an appropriate substitution,
+
Also erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 13:19, 5. Mai 2009

Wir sehen dass der Faktor \displaystyle \cos x die Ableitung von \displaystyle \sin x ist. Wir machen die Substitution \displaystyle u=\sin x, und erhalten

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx

Also erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sin x\\[5pt] du &= (\sin x)'\,dx = \cos x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:3b“