Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	For an indefinite integral, we do not need to take account of the limits of integration when substituting variables, but at the end, when the integral has been calculated, we do need to change back to the variable <math>x</math> (because the original integral was expressed in <math>x</math>).	+	Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable <math>x</math> gehen.
-	If we start by looking at the integration element <math>du</math>, the relation between <math>dx</math> and <math>du</math> reads	+	Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
	{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,,</math>}}
-	which can be written as	+	oder,
	{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
-	The expression <math>x\,dx</math> is present as a factor in the integral, and so everything is there for the substitution <math>u=x^{2}+3</math>,	+	Nachdem <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
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	\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}		\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
-	The result on the right-hand side is a standard integral, which we integrate directly,	+	Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C\,\textrm{.}</math>}}
-	We write the answer expressed in <math>x</math> by substituting back <math>u=x^{2}+3</math>,	+	Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math> indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,,</math>}}
-	where <math>C</math> is an arbitrary constant.	+	Wo <math>C</math> eine beliebige Konstante ist.
-		+	Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten, und sehen ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.
-	Note: It is possible to check the answer by differentiating <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> and seeing that we get back the integrand <math>(x^2+3)^5x\,</math>.	+

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Version vom 12:44, 5. Mai 2009

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable \displaystyle x gehen.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,,

oder,

\displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Nachdem \displaystyle x\,dx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 direkt ausführen,

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align} u &= x^2+3\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen,

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C\,\textrm{.}

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable \displaystyle x indem wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 ausführen,

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,,

Wo \displaystyle C eine beliebige Konstante ist.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir \displaystyle \tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C ableiten, und sehen ob wir \displaystyle (x^2+3)^5x\, erhalten.