Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> .	+	Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:
-	und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>	+	{{Abgesetzte Formel||<math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math>}}.
-	Also:	+	Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
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	&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\		&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
	&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\		&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
-	&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\	+	&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C
-	&= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\	+
-	&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\	+
-	&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\	+
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
		+
		+	Diese L&ouml;sung unterscheidet sich von der zuvor gefundene L&ouml;sung nur durch eine Konstante: wegen
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>}}
		+
		+	gilt
		+
		+	<math>
		+	\frac{-1}{4}cos(2x)
		+	\,=\, \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)
		+	\,=\, \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4}.
		+	</math>

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Version vom 14:11, 7. Sep. 2009

Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:

\displaystyle 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

.

Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\ &= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\ &= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{-1}{4}cos(2x) + C \end{align}

Diese Lösung unterscheidet sich von der zuvor gefundene Lösung nur durch eine Konstante: wegen

\displaystyle sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2} d.h. \displaystyle cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1

gilt

\displaystyle \frac{-1}{4}cos(2x) \,=\, \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1) \,=\, \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4}.