2.2:3b alternativ

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> .
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Wir sehen, dass der Faktor <math>\ -sin x</math> die Ableitung von <math>\cos x</math> ist. Daher substituieren wir <math>u=\cos x</math> und erhalten so das Integral
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und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>.}}
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Also:
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Also erhalten wir
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<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int \sin x\cos x\,dx
+
\int \sin x\cos x\,dx
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&= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\
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&= \left\{ \begin{align}
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&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
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u &= \cos x\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
+
du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx
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&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\
+
\end{align} \right\}\\[5pt]
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&= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\
+
&= \int -u\,du\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\
+
&= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt]
-
&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\
+
&= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\
-
\end{align}</math>
+
&= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\
 +
&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\
 +
&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
weil <math> C+\frac{1}{2} =C </math> (Konstante + Konstante ist eine Konstante)

Version vom 11:31, 3. Sep. 2009

Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \ -sin x die Ableitung von \displaystyle \cos x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\cos x und erhalten so das Integral

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx.

Also erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int -u\,du\\[5pt] &= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\ &= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align}

weil \displaystyle C+\frac{1}{2} =C (Konstante + Konstante ist eine Konstante)

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