Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Wir sehen, dass der Faktor <math>\ -sin x</math> die Ableitung von <math>\cos x</math> ist. Daher substituieren wir <math>u=\sin x</math> und erhalten so das Intagral	+	Nach Kapitel 4 gilt: <math> 2sin(x)cos(x) = sin(2x) </math> .
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>.}}	+	und <math>sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}</math> d.h. <math>cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1</math>
-	Also erhalten wir	+	Also:
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}	+	<math>\begin{align}
-	\int \sin x\cos x\,dx	+	\int \sin x\cos x\,dx
-	&= \left\{ \begin{align}	+	&= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\
-	u &= \cos x\\[5pt]	+	&= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\
-	du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx	+	&= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\
-	\end{align} \right\}\\[5pt]	+	&= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\
-	&= \int -u\,du\\[5pt]	+	&= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\
-	&= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt]	+	&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\
-	&= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\	+	&= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\
-	&= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\	+	\end{align}</math>
-	&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\	+
-	&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.}	+
-	\end{align}</math>}}	+
-	weil <math> C+\frac{1}{2} =C </math> (Konstante + Konstante ist eine Konstante)	+

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Version vom 11:31, 3. Sep. 2009

Nach Kapitel 4 gilt: \displaystyle 2sin(x)cos(x) = sin(2x) .

und \displaystyle sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2} d.h. \displaystyle cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1

Also:

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\ &= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\ &= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{-1}{4}cos(2x) + C\\ &= \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1)+C\\ &= \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4} +C\\ &= \frac{1}{2}sin^{2}(x)+C\\ \end{align}