Lösung 3.4:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält. | + | Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält. |
In unseren Fall bedeutet dies, dass | In unseren Fall bedeutet dies, dass | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}} |
| - | + | wobei <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist und | |
<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat. | <math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat. | ||
| - | Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt. | + | Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt. |
Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir | Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir | ||
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| - | Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math> | + | Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math> |
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| - | also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. | + | also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Da <math>d=-3c</math>, ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir |
| - | <math>a</math> und <math>b</math> | + | <math>a</math> und <math>b</math> |
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:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>, | :*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>, | ||
| - | :*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math> | + | :*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>. |
Version vom 12:00, 4. Sep. 2009
Ein Polynom hat die dreifache Wurzel \displaystyle z=c, wenn das Polynom den Faktor \displaystyle (z-c)^3 enthält.
In unseren Fall bedeutet dies, dass
| \displaystyle z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d) , |
wobei \displaystyle z=c die dreifache Wurzel ist und \displaystyle z=d die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.
Wir bestimmen jetzt \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c und \displaystyle d, sodass die obere Gleichung stimmt.
Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
(z-c)^3(z-d) &= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt] &= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d \end{align} |
und daher muss
| \displaystyle z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.} |
Nachdem zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
| \displaystyle \left\{\begin{align}
3c+d &= 0\,,\\[5pt] 3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt] -c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt] c^3d &= b\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Von der ersten Gleichung erhalten wir \displaystyle d=-3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für \displaystyle c
| \displaystyle \begin{align}
3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt] -6c^2 &= -6\,, \end{align} |
also \displaystyle c=-1 oder \displaystyle c=1. Da \displaystyle d=-3c, ist \displaystyle d=3 oder \displaystyle d=-3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir \displaystyle a und \displaystyle b
\displaystyle \begin{align}
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
\end{align}
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
- \displaystyle a=8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Wurzel in \displaystyle z=1 und eine einfache Wurzel in \displaystyle z=-3,
- \displaystyle a=10 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Wurzel in \displaystyle z=-1 und eine einfache Wurzel in \displaystyle z=3.
