Lösung 2.2:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
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{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,</math>}}
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oder,
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oder
{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen,
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Da <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
u &= x^2+3\\[5pt]
u &= x^2+3\\[5pt]
du &= 2x\,dx
du &= 2x\,dx
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\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
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\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du</math>}}
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Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen,
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Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C</math>}}
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Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math> indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen,
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Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math>, indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,</math>}}
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Wo <math>C</math> eine beliebige Konstante ist.
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<math>C</math> ist dabei eine beliebige Konstante.
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Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten, und sehen ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.
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Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten und sehen, ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.

Version vom 11:54, 27. Aug. 2009

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable \displaystyle x gehen.

Das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du lautet

\displaystyle du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,

oder

\displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}

Da \displaystyle x\,dx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 direkt ausführen.

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}

u &= x^2+3\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable \displaystyle x, indem wir die Substitution \displaystyle u=x^{2}+3 ausführen

\displaystyle \int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,

\displaystyle C ist dabei eine beliebige Konstante.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir \displaystyle \tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C ableiten und sehen, ob wir \displaystyle (x^2+3)^5x\, erhalten.

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