Lösung 1.2:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Wir | + | Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab |
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&= (\sin\ln x)' + (\cos\ln x)'\\[5pt] | &= (\sin\ln x)' + (\cos\ln x)'\\[5pt] | ||
&= \cos\ln x\cdot (\ln x)' - \sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt] | &= \cos\ln x\cdot (\ln x)' - \sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt] | ||
| - | &= \cos\ln x\cdot\frac{1}{x} - \sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\,\textrm{.} | + | &= \cos\ln x\cdot\frac{1}{x} - \sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} |
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Version vom 11:09, 20. Aug. 2009
Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt] &= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.} \end{align} |
Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
| \displaystyle \begin{align}
(\sin\ln x + \cos\ln x)' &= (\sin\ln x)' + (\cos\ln x)'\\[5pt] &= \cos\ln x\cdot (\ln x)' - \sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= \cos\ln x\cdot\frac{1}{x} - \sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} \end{align} |
Also haben wir
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= \sin \ln x + \cos \ln x + \cos \ln x - \sin \ln x\\[5pt] &= 2\cos \ln x\,\textrm{.} \end{align} |
Die zweite Ableitung ist
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,2\cos\ln x &= -2\sin\ln x\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= -2\sin\ln x\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] &= -\frac{2\sin\ln x}{x}\,\textrm{.} \end{align} |
