Lösung 1.2:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir berechnen zuerst die erste Ableitung mit der Faktorregel
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin\ln x + \cos\ln x)\bigr] &= (x)'\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\\[5pt] &= 1\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x) + x\cdot (\sin\ln x + \cos\ln x)'\,\textrm{.} \end{align} |
Wir leiten den zweiten Term, Term für Term mit der Kettenregel ab
| \displaystyle \begin{align}
(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))' &= (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot (\ln x)' - \sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,\,\textrm{.} \end{align} |
Also haben wir
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(\sin(\ln x) + \cos(\ln x))\bigr] &= \sin (\ln x) + \cos (\ln x) + \cos (\ln x) - \sin (\ln x)\\[5pt] &= 2\cos (\ln x)\,\textrm{.} \end{align} |
Die zweite Ableitung ist
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,2\cos(\ln x) &= -2\sin(\ln x)\cdot (\ln x)'\\[5pt] &= -2\sin(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\\[5pt] &= -\frac{2\sin(\ln x)}{x}\,\textrm{.} \end{align} |
