Lösung 2.2:3d

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Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,
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Wir sehen dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist,
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
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so we can rewrite the integral as
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Also ist das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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The substitution <math>u=x^2+2x+2</math> will therefore simplify the integral considerably,
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Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Hinweis: Durch quadratische Ergänzung
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Note: By completing the square
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
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we see that <math>x^2+2x+2</math> is always greater than or equal to 1, so we can take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math> and answer with
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sehen wir dass <math>x^2+2x+2</math> immer grösser als 1 ist, und daher können wir das betragszeichen auslassen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 13:26, 5. Mai 2009

Wir sehen dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist,

\displaystyle (x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)

Also ist das Integral

\displaystyle \int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}

Durch die Substitution \displaystyle u=x^2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral,

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= x^2+2x+2\\[5pt] du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |u| + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\ln |x^2+2x+2| + C\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Durch quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1

sehen wir dass \displaystyle x^2+2x+2 immer grösser als 1 ist, und daher können wir das betragszeichen auslassen,

\displaystyle \frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}
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